$\frac{d}{dx} \left( \arctan \sqrt{x} \right)$ туындысын табыңыз

Математика
1

\frac{d}{dx} \left( \arctan \sqrt{x} \right) туындысын табыңыз.

\frac{d}{dx} \left( \arctan \sqrt{x} \right) туындысын табыңыз.

2

Рассмотрим функцию f(x)=arctan(√x). Чтобы найти её производную, применяем правило цепочки.

Сначала обозначим u = √x, тогда f(x)=arctan(u). Производная арктангенса равна u’/(1+u²).

Найдем u’ для u = √x. Запишем √x = x^(1/2), тогда u’ = (1/2)x^(–1/2)=1/(2√x).

Подставляем в формулу для производной:
f’(x) = u’/(1+u²) = (1/(2√x))/(1+ (√x)²).

Поскольку (√x)²=x, получаем:
f’(x) = 1/(2√x(1+x)).

Таким образом, производная функции равна: 1/(2√x(1+x)).

3

Сұрақ: f(x) = arctan(√x) функциясының туындысын табу.

Бізге берілген функцияда бір қатар күрделі құрамдас функциялар бар. Яғни, алдымен √x функциясы, содан кейін арктангенс функциясы қолданылады. Мұндай жағдайда тізбекті туынды ережесін (chain rule) қолдану керек.

  1. Алдымен f(x) = arctan(u) деп белгілейік, мұнда u = √x.

    • Арктангенстің туындысы:

      d/du [arctan u] = 1/(1 + u²).

  2. u = √x функциясының туындысын табамыз:

    d/dx [√x] = d/dx [x^(1/2)] = (1/2) * x^(-1/2) = 1/(2√x).

  3. Тізбекті туынды ережесін қолдансақ:

    f’(x) = (d/du [arctan u]) * (du/dx) = [1/(1 + u²)] * [1/(2√x)].

    Енді u = √x болғандықтан, u² = x, сондықтан:

    f’(x) = 1/(1 + x) * 1/(2√x) = 1/(2√x (1 + x)).

Қорытынды:
Дұрыс жауап: 1/(2√x(1 + x)).