\frac{d}{dx} \arcsin(\ln x) туындысын табыңыз.
\frac{d}{dx} \arcsin(\ln x) туындысын табыңыз.
Мы хотим найти производную функции y = arcsin(ln x), используя правило цепочки.
Обозначим u = ln x, тогда y = arcsin(u). Производная функции arcsin(u) равна
y’ = u’ / √(1 – u²).
Найдем u’:
u = ln x ⇒ u’ = 1/x.
Подставляем u и u’ в формулу производной:
y’ = (1/x) / √(1 – (ln x)²) = 1/(x√(1 – (ln x)²)).
Таким образом, производная функции
d/dx [arcsin(ln x)] = 1/(x√(1 – (ln x)²)).
Сұрақтағы функция: f(x) = arcsin(ln x). Бұл функцияның туындысын табу үшін қабаттық ережені (chain rule) қолданамыз.
Алдымен, ішкі функция u(x) = ln x, оның туындысы u’(x) = 1/x. Содан кейін, сыртқы функция f(u) = arcsin(u) үшін туындысы f’(u) = 1/√(1 - u²).
Яғни, қабаттық ереже бойынша:
f’(x) = f’(u(x)) · u’(x) = (1/√(1 - (ln x)²)) · (1/x).
Нәтижесінде, туынды:
d/dx [arcsin(ln x)] = 1/(x √(1 - (ln x)²)).