Фигураның ауданын табыңыз: $ y = 4 - x^2 $ және $ y = x + 2 $ шектеуінде
Фигураның ауданын табыңыз: $ y = 4 - x^2 $ және $ y = x + 2 $ шектеуінде
Сеннен берілген екі функцияның қиылысу нүктелері арқылы шектеулін фигурасының ауданын тапқымыз келеді:
y = 4 - x² және y = x + 2.
Бастапқы қадам ретінде, қиылысу нүктелерін табамыз. Екі функцияның теңдігін жазып, x-ке қатысты теңдеу шығарамыз:
4 - x² = x + 2.
Оны реттеп, теңдеуді стандартты түрде жазамыз:
4 - x² - x - 2 = 0 → - x² - x + 2 = 0.
Екі жағын (-1) көбейтсек:
x² + x - 2 = 0.
Бұл квадрат теңдеуді екі көбейтілімге жіктеуге болады:
(x + 2)(x - 1) = 0,
сондықтан x = -2 немесе x = 1.
Енді, аралықта қай графиктың жоғарғы жағында екенін анықтайық. Мысалы, x = 0 үшін:
y = 4 - 0² = 4 және y = 0 + 2 = 2.
Яғни, x = 0 нүктесінде y = 4 - x² графигі жоғарыда, ал y = x + 2 төменде.
Сонда фигура ауданы мына интеграл көмегімен есептеледі:
A = ∫[x=-2,1] [(4 - x²) - (x + 2)] dx.
АлдыменIntegrandті қарапайым қалыпқа келтірейік:
(4 - x²) - (x + 2) = 4 - x² - x - 2 = 2 - x - x².
Енді интегралды есептейміз:
A = ∫[x=-2,1] (2 - x - x²) dx.
Антидифференциалын табайық:
∫ 2 dx = 2x, ∫ x dx = x²/2, ∫ x² dx = x³/3,
сондықтан жалпы табамыз:
F(x) = 2x - x²/2 - x³/3.
Енді, x = 1 және x = -2 нүктелерінде орнын қоямыз:
F(1) = 2(1) - (1)²/2 - (1)³/3 = 2 - 1/2 - 1/3.
Ортақ бөлім 6 арқылы есептейміз:
2 = 12/6, 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6,
сондықтан:
F(1) = (12 - 3 - 2)/6 = 7/6.
Енді:
F(-2) = 2(-2) - (-2)²/2 - (-2)³/3 = -4 - (4/2) - (-8/3)
= -4 - 2 + 8/3 = -6 + 8/3.
Ортақ бөлім 3 арқылы жазсақ:
-6 = -18/3, сондықтан:
F(-2) = (-18 + 8)/3 = -10/3.
Интегралдың мәні:
A = F(1) - F(-2) = (7/6) - (-10/3) = 7/6 + 10/3.
10/3-ті ортақ бөлімге келтірейік:
10/3 = 20/6, сондықтан:
A = (7 + 20)/6 = 27/6 = 9/2.
Яғни, фигура ауданы 9/2 бірлікті құрайды.
Осылайша, дұрыс жауап: Аудан = 9/2.
Мы ищем площадь области, ограниченной кривыми y = 4 – x² и y = x + 2.
Сначала находим точки их пересечения. Для этого приравниваем правые части:
4 – x² = x + 2
Переносим все в одну сторону:
-x² – x + 4 – 2 = 0
-x² – x + 2 = 0
Умножим на –1 для удобства:
x² + x – 2 = 0
Решаем квадратное уравнение. Дискриминант равен:
D = 1² – 4·1·(–2) = 1 + 8 = 9
Найдем корни:
x = (–1 ± 3) / 2
Таким образом, получаем два корня:
x = 1 и x = –2.
Чтобы определить, какая функция находится сверху (верхняя граница), подставим тестовое значение, например, x = 0:
Для y = 4 – 0² = 4
Для y = 0 + 2 = 2
Отсюда видим, что y = 4 – x² располагается выше.
Площадь фигуры находится по формуле:
S = ∫[от x = –2 до x = 1] (верхняя функция – нижняя функция) dx
S = ∫[–2, 1] [(4 – x²) – (x + 2)] dx
Упростим подынтегральное выражение:
(4 – x²) – (x + 2) = 4 – x² – x – 2 = 2 – x – x²
Теперь вычисляем интеграл:
S = ∫[–2, 1] (2 – x – x²) dx
Найдем первообразную:
∫ (2 – x – x²) dx = 2x – x²/2 – x³/3 + C
Подставляем пределы интегрирования.
При x = 1:
F(1) = 2·1 – 1²/2 – 1³/3 = 2 – 1/2 – 1/3
Приведем к общему знаменателю (6):
2 = 12/6, 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6
F(1) = (12 – 3 – 2)/6 = 7/6
При x = –2:
F(–2) = 2·(–2) – (–2)²/2 – (–2)³/3 = –4 – 4/2 – (–8)/3
= –4 – 2 + 8/3
Приводим –4 – 2 = –6 = –18/3, значит
F(–2) = (–18/3 + 8/3) = –10/3
Вычисляем разность:
S = F(1) – F(–2) = (7/6) – (–10/3) = 7/6 + 10/3
Приведем к общему знаменателю (6):
10/3 = 20/6
S = (7 + 20)/6 = 27/6 = 9/2
Ответ: Площадь фигуры равна 9/2 квадратных единиц.