f(x) = e^{2x} \cdot \sin x функциясының туындысы.
f(x) = e^{2x} \cdot \sin x функциясының туындысы.
Задача состоит в том, чтобы найти производную функции f(x) = e^(2x) · sin(x). Для этого используется правило произведения для дифференцирования.
Из правила произведения известно, что если функция представляется в виде f(x) = u(x) · v(x), то её производная равна:
f’(x) = u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x).
Выберем u(x) = e^(2x) и v(x) = sin(x).
Дифференцируем u(x):
u’(x) = (e^(2x))’ = 2e^(2x) (так как производная e^(kx) равна k*e^(kx)).
Дифференцируем v(x):
v’(x) = (sin(x))’ = cos(x).
Теперь подставляем в формулу:
f’(x) = 2e^(2x) · sin(x) + e^(2x) · cos(x).
Можно вынести общий множитель e^(2x):
f’(x) = e^(2x) · (2sin(x) + cos(x)).
Ответ: Производная функции f(x) = e^(2x)·sin(x) равна e^(2x)·(2sin(x) + cos(x)).
Мысал келтірейік. Сізге берілген функция:
( f(x) = e^{2x} \cdot \sin x ).
Оны туындылау үшін көбейту ережесін пайдаланамыз, яғни егер ( g(x) ) және ( h(x) ) функциялары берілсе, онда:
[
(f(x))’ = g’(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h’(x)
]
Осыдан:
• ( g(x) = e^{2x} ) және оның туындысы ( g’(x) = 2e^{2x} ) (мысалы, тізбектілік ережесі бойынша);
• ( h(x) = \sin x ) және жеке туынды ( h’(x) = \cos x ).
Сонда:
[
f’(x) = 2e^{2x} \cdot \sin x + e^{2x} \cdot \cos x
]
Нақтырақ жазсақ:
[
f’(x) = e^{2x} \cdot (2\sin x + \cos x)
]
Бұл нәтиже функцияның туындысы болып табылады. Егер сұрақтарыңыз болса, толық түсінуге көмектесуге әрқашан дайынмын!