f(x) = \cos 2x функциясының Тейлор қатары.
f(x) = \cos 2x функциясының Тейлор қатары.
Функция f(x) = cos 2x является аналитической, значит, её можно разложить в степенной ряд Тейлора. Напомним, что стандартный ряд Тейлора для cos u имеет вид
cos u = Σₙ₌₀∞ (-1)ⁿ · u^(2n) / (2n)!.
Подставляя u = 2x, получаем:
cos 2x = Σₙ₌₀∞ (-1)ⁿ · (2x)^(2n) / (2n)! = Σₙ₌₀∞ (-1)ⁿ · 2^(2n) · x^(2n) / (2n)!.
Таким образом, разложение функции f(x)=cos 2x в ряд Тейлора выглядит следующим образом:
f(x) = cos 2x = 1 – 2² · x²/2! + 2⁴ · x⁴/4! – 2⁶ · x⁶/6! + …
Это и есть требуемое разложение функции в степенной ряд.
f(x) = \cos 2x функциясының Тейлор қатары дегеніміз – \cos 2x функциясын (x=0) нүктесінде шексіз степенной қатар түрінде жазу.
Бізде жалпы:
(\cos t = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{t^{2n}}{(2n)!})
формуласын қолданамыз. Мұнда (t = 2x) деп алмастырамыз. Сонда:
(\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!})
Бұл қатарды жұмсарту:
((2x)^{2n} = 2^{2n}x^{2n} = 4^n x^{2n})
Демек, қатары былай болады:
(\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n x^{2n}}{(2n)!})
Осылайша, функцияның Тейлор қатары:
(\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n x^{2n}}{(2n)!})
деген нәтижеге келеді.