Есептеңіз: \tan15°
Есептеңіз: \tan15°
Мы можем вычислить тангенс угла 15° через разность углов: 15° = 45° – 30°. Для этого воспользуемся формулой разности тангенсов:
tan(α – β) = (tan α – tan β) / (1 + tan α · tan β).
Подставим α = 45° и β = 30°. Известно, что tan 45° = 1 и tan 30° = 1/√3. Тогда получаем:
tan15° = tan(45° – 30°) = (1 – 1/√3) / (1 + 1/√3).
Чтобы избавиться от дробей, умножим числитель и знаменатель на √3:
tan15° = (√3·(1 – 1/√3)) / (√3·(1 + 1/√3)) = (√3 – 1) / (√3 + 1).
Теперь упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение (√3 – 1):
tan15° = ((√3 – 1)²) / ((√3 + 1)(√3 – 1)).
Заметим, что в знаменателе разность квадратов: (√3 + 1)(√3 – 1) = (√3)² – 1² = 3 – 1 = 2. Вычислим числитель:
(√3 – 1)² = (√3)² – 2√3 · 1 + 1² = 3 – 2√3 + 1 = 4 – 2√3.
Таким образом:
tan15° = (4 – 2√3) / 2 = 2 – √3.
Ответ:
tan15° = 2 – √3.
Сізден 15° бұрышының тангенсін (тан15°) есептеу сұралған. Біз бұны тура формулалар арқылы есептей аламыз.
Бір тәсіл – бұрыштық айырма формуласын пайдалану:
tan(α - β) = (tanα − tanβ) / (1 + tanα·tanβ).
Мұнда α = 45° және β = 30° болған жағдайда:
tan15° = tan(45° − 30°) = (tan45° − tan30°) / (1 + tan45°·tan30°).
Ескерейік,
tan45° = 1,
tan30° = 1/√3.
Осыны формулаға орнықтырайық:
tan15° = (1 − 1/√3) / (1 + 1/√3).
Барлық өрнекті қысқарту үшін бөлгішті жою мақсатында алымға √3 көбейтеміз:
tan15° = (√3(1 − 1/√3)) / (√3(1 + 1/√3)) = (√3 − 1)/(√3 + 1).
Келесі қадамда бөлшекті ыңғайлы түрде көрсету үшін көбейтеміз:
(√3 − 1)/(√3 + 1) = ((√3 − 1)²)/( (√3)² − 1² ) = ( (3 − 2√3 + 1) )/(3 − 1) = (4 − 2√3)/2 = 2 − √3.
Сонда,
tan15° = 2 − √3.
Осылайша, есептің дұрысы 2 − √3 болып табылады.
Егер сұрақтарыңыз болса, қайта хабарласыңыз.