Есептеңіз: \tan 15°
Есептеңіз: \tan 15°
Біз 15° бұрышының тангенсін табуымыз керек. Бұл есепті шешу үшін тангенс айырмасы формуласын қолдануға болады.
Есептің негізгі қадамы – 45° және 30° бұрыштарының айырмасы ретінде 15°-ті жазу:
15° = 45° – 30°.
Сонымен,
tan (45° – 30°) = (tan 45° – tan 30°) / (1 + tan 45°·tan 30°).
Бізге белгілі:
tan 45° = 1 және tan 30° = 1/√3.
Осы мәліметтерді формулаға қоямыз:
tan 15° = (1 – 1/√3) / (1 + 1/√3).
Осы бөлшекті жеңілдету үшін санаймыз. Екі жақты да √3-ке көбейтеміз:
tan 15° = (√3 – 1) / (√3 + 1).
Бұл нәтижені ары қарай ықшамдауға болады. Егер көбейткіш ретінде (√3 – 1) қолдансақ:
(√3 – 1) / (√3 + 1) = [(√3 – 1)²] / ( (√3)² – 1² ) = (3 – 2√3 + 1) / (3 – 1) = (4 – 2√3) / 2 = 2 – √3.
Сонда,
tan 15° = 2 – √3.
Анықталды: 15° бұрышының тангенсі 2 – √3.
Мы можем вычислить значение тангенса угла 15° через формулу разности углов. Можно представить 15° как разность 45° и 30°. Тогда по формуле для тангенса разности двух углов имеем:
tan(15°) = tan(45° – 30°) = [tan 45° – tan 30°] / [1 + tan 45° tan 30°].
Известно, что tan 45° = 1, а tan 30° = 1/√3. Подставляем:
tan(15°) = (1 – 1/√3) / (1 + 1/√3).
Чтобы убрать корни из знаменателей, умножим числитель и знаменатель на √3:
tan(15°) = [√3(1 – 1/√3)] / [√3(1 + 1/√3)]
= (√3 – 1) / (√3 + 1).
Для дальнейшего упрощения домножим числитель и знаменатель на сопряжённое число (√3 – 1):
tan(15°) = [(√3 – 1)²] / [(√3 + 1)(√3 – 1)].
В знаменателе получаем разность квадратов:
(√3 + 1)(√3 – 1) = (√3)² – 1² = 3 – 1 = 2.
В числителе:
(√3 – 1)² = 3 – 2√3 + 1 = 4 – 2√3.
Таким образом:
tan(15°) = (4 – 2√3) / 2 = 2 – √3.
Ответ: tan 15° = 2 – √3.