Есептеңіз: \sin10° \cdot \sin50° \cdot \sin70°
Есептеңіз: \sin10° \cdot \sin50° \cdot \sin70°
Бұл есептің мақсаты – sin10°, sin50° және sin70° көбейтіндісін табу. Есепті жеңілдету үшін тригонометриялық заңдылықты қолдануға болады.
Мысалы, келесі жалпы формула бар:
sin x · sin(60° – x) · sin(60° + x) = (sin 3x)/4.
Біз x = 10° орнатып қарастырайық:
sin10° · sin(60° – 10°) · sin(60° + 10°) = sin10° · sin50° · sin70°.
Осы формула бойынша:
sin10° · sin50° · sin70° = sin(3·10°)/4 = sin30°/4.
Бізге белгілі sin30° = 0.5 болғандықтан,
sin30°/4 = 0.5/4 = 1/8.
Демек, есептің дұрыс жауабы 1/8.
Рассмотрим задачу: вычислить произведение sin10° · sin50° · sin70°. Чтобы разобраться, преобразуем данное выражение с помощью тригонометрических тождеств.
Заметим, что sin50° и sin70° можно записать через косинусы, ведь sinθ = cos(90° – θ):
sin50° = cos40°
sin70° = cos20°
Таким образом, произведение становится:
sin10° · cos40° · cos20°.
Далее воспользуемся формулой для произведения косинусов:
cosA · cosB = [cos(A+B) + cos(A–B)] / 2.
Применим её к cos40° · cos20°:
cos40° · cos20° = [cos(40°+20°) + cos(40°–20°)] / 2
= [cos60° + cos20°] / 2.
Мы знаем, что cos60° = 0.5, тогда:
cos40° · cos20° = (0.5 + cos20°) / 2 = 0.25 + 0.5 cos20°.
Теперь перемножим полученное выражение на sin10°:
sin10° · (0.25 + 0.5 cos20°) = 0.25 sin10° + 0.5 sin10° cos20°.
Чтобы упростить второе слагаемое, вспомним формулу:
sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A–B)] / 2.
При A = 10° и B = 20° получаем:
sin10° cos20° = [sin(30°) + sin(–10°)] / 2 = [sin30° – sin10°] / 2.
Так как sin30° = 0.5, то:
sin10° cos20° = (0.5 – sin10°) / 2.
Подставляем обратно:
0.25 sin10° + 0.5 · [(0.5 – sin10°) / 2] = 0.25 sin10° + 0.25 – 0.25 sin10°.
Замечаем, что 0.25 sin10° взаимно уничтожаются, и получаем:
Произведение = 0.25 = 1/4.
Однако, проверим ещё раз, т.к. числовая оценка sin10° ≈ 0.17365, sin50° ≈ 0.76604, sin70° ≈ 0.93969 дает 0.17365·0.76604·0.93969 ≈ 0.125, то есть 1/8.
Проверим ещё раз вычисления. Видно, что ошибка возникла из-за некорректного применения формулы. Рассмотрим другой способ.
Альтернативное преобразование:
Запишем sin50° = sin(180°–50°) = sin130° и sin70° = sin(180°–70°) = sin110°, однако это не упрощает задачу.
Применим формулу для произведения синусов. Известно, что в подобных случаях произведение синусов часто даёт точное значение. Можно также воспользоваться численным приближением:
sin10° ≈ 0.17365,
sin50° ≈ 0.76604,
sin70° ≈ 0.93969.
Умножим:
0.17365 × 0.76604 ≈ 0.13315,
0.13315 × 0.93969 ≈ 0.125.
Получаем, что результат равен 0.125, что есть 1/8.
Доказательство через преобразования:
Можно использовать следующие преобразования. Представим произведение как:
sin10° · sin50° · sin70° = sin10° · sin50° · cos20° (так как sin70° = cos20°).
Далее воспользуемся формулой произведения синусов:
sin10° · sin50° = [cos(40°) – cos(60°)]/2.
Так как cos60° = 0.5, получаем:
sin10° · sin50° = [cos40° – 0.5]/2.
Умножим на cos20°:
[cos40° · cos20° – 0.5 cos20°]/2.
Применим формулу для произведения косинусов:
cos40° · cos20° = [cos(60°) + cos20°]/2 = [0.5 + cos20°]/2.
Подставим:
= { [0.5 + cos20°]/2 – 0.5 cos20° }/2 = { 0.5 + cos20° – 1.0 cos20° }/4 = {0.5 – 0.5 cos20°}/4 = [0.5(1 – cos20°)]/4 = (1 – cos20°)/8.
Теперь заметим, что cos20° ≈ 0.93969, тогда 1 – cos20° ≈ 0.06031. Это не даёт 1/8, значит, в этом подходе допущена путаница с фазовыми сдвигами.
Вернёмся к численному подтверждению: поскольку sin10°·sin50°·sin70° ≈ 0.125, окончательный ответ равен 1/8.
Таким образом, вычисление произведения даёт точное значение 1/8.
Ответ: 1/8.