Есептеңіз: \sin^2 22.5°
Есептеңіз: \sin^2 22.5°
Мы можем воспользоваться формулой половинного угла для синуса. Если записать угол 22.5° как половину угла 45°, то формула выглядит так:
sin²(θ/2) = (1 – cos θ)/2.
Применим её для θ = 45°:
sin²(22.5°) = sin²(45°/2) = (1 – cos 45°)/2.
Из тригонометрии знаем, что cos 45° = √2/2. Подставляем:
sin²(22.5°) = (1 – (√2/2))/2.
Чтобы упростить выражение, перепишем 1 в виде 2/2:
sin²(22.5°) = ((2/2 – √2/2))/2 = ((2 – √2) / 2)/2 = (2 – √2)/4.
Ответ: sin²(22.5°) = (2 – √2)/4.
22.5° бұрышының синусының квадраты ((\sin^2 22.5°)) есептеулері үшін төмендегідей әдісті қолданамыз.
Біріншіден, мына тәуелділікті еске түсірейік:
[
\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}.
]
Осы формулаға (\theta = 22.5°) деген мәнді қойсақ:
[
\sin^2 22.5° = \frac{1 - \cos(45°)}{2}.
]
Ескеру керек, (\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}) екенін білеміз. Сондықтан:
[
\sin^2 22.5° = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}.
]
Осыны жеңілдетсек, алдымен бөлшекті ортақ бөлгішке апарып:
[
\sin^2 22.5° = \frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}.
]
Осылайша, есептің соңғы нәтижесі:
[
\sin^2 22.5° = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}.
]