Есептеңіз: $ \log_3 81 - \log_2 \sqrt{32} + \ln e^5 $
Есептеңіз: $ \log_3 81 - \log_2 \sqrt{32} + \ln e^5 $
Мысалды қайта айтып, шешу жолын түсіндіріп өтейін.
Бірінші бөлік – (\log_{3}81):
• Негізгі ұғым: Егер (a^x = b), онда (\log_a{b}=x).
• Біз білеміз: (3^4=81), сондықтан (\log_{3}81=4).
Екінші бөлік – (-\log_{2}\sqrt{32}):
• Ескерту: (\sqrt{32} = 32^{1/2}).
• Сонымен, (32=2^5) болғандықтан, (\sqrt{32}=(2^5)^{1/2}=2^{5/2}).
• Қасиет: (\log_{2}(2^{5/2})=\frac{5}{2}), ал минус белгісі нәтижені теріс етеді: (-\frac{5}{2}).
Үшінші бөлік – (\ln e^5):
• Табиғи логарифмнің анықтамасы бойынша, (\ln(e^x)=x).
• Осылайша, (\ln e^5=5).
Барлық бөліктерді жинаймыз:
[
4-\frac{5}{2}+5
]
Жалпы:
• (4+5=9), содан соң (9-\frac{5}{2}=\frac{18}{2}-\frac{5}{2}=\frac{13}{2}).
Демек, есептің жауабы (\frac{13}{2}).
Задача требует вычислить выражение: log₃81 – log₂√32 + ln e⁵.
Начнём с первого слагаемого:
log₃81
Заметим, что 81 = 3⁴, поэтому
log₃81 = log₃ 3⁴ = 4.
Переходим ко второму слагаемому:
log₂√32
Запишем √32 как 32^(1/2). Поскольку 32 = 2⁵, получаем:
√32 = (2⁵)^(1/2) = 2^(5/2).
Тогда log₂ 2^(5/2) = 5/2.
Теперь третье слагаемое:
ln e⁵
По свойству натурального логарифма: ln e⁵ = 5.
Теперь собираем всё вместе:
4 – 5/2 + 5.
Чтобы сложить, приведём 4 и 5 к общему знаменателю 2:
4 = 8/2, 5 = 10/2,
тогда сумма равна (8/2) – (5/2) + (10/2) = (8 – 5 + 10)/2 = 13/2.
Ответ: 13/2.