Есептеңіз: $ \lim_{x→0} \frac{\sin 5x}{3x} $
Есептеңіз: $ \lim_{x→0} \frac{\sin 5x}{3x} $
Итак, нам нужно вычислить предел
limₓ→0 (sin 5x)⁄(3x).
Чтобы решить эту задачу, попробуем привести дробь к виду, когда получится стандартный предел limₓ→0 (sin x)/x = 1. Для этого можно умножить и разделить числитель на 5:
(sin 5x)/(3x) = (sin 5x)/(5x) · (5x)/(3x) = (sin 5x)/(5x) · 5⁄3.
При x → 0 предел (sin 5x)/(5x) равен 1. Следовательно,
limₓ→0 (sin 5x)/(3x) = 1 · 5⁄3 = 5⁄3.
Ответ: 5/3.
Мәселе сұралатын шек:
[\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x}]
Мұндай есепте (\frac{\sin ax}{ax}) түріндегі функциялардың стандартты шегі (\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax}=1) екенін қолданамыз.
• Есепті былай қайта жазамыз:
(\frac{\sin 5x}{3x}) = (\frac{\sin 5x}{5x}\cdot\frac{5}{3}).
Бұл амал (\sin 5x) функциясын (5x) бөлгішпен толықтай көрсетуге мүмкіндік береді.
• Енді шекті есептейміз:
(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1)
сондықтан:
(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x} = 1\cdot\frac{5}{3} = \frac{5}{3}).
Демек, дұрыс жауап (\frac{5}{3}) болады.