Есептеңіз: $\frac{\sin 20° + \sin 40°}{\cos 20° + \cos 40°}$

Математика
1

Есептеңіз: \frac{\sin 20° + \sin 40°}{\cos 20° + \cos 40°}

Есептеңіз: \frac{\sin 20° + \sin 40°}{\cos 20° + \cos 40°}

2

Выражение, которое нужно вычислить, имеет вид:

( sin 20° + sin 40° ) / ( cos 20° + cos 40° ).

Для упрощения удобно воспользоваться формулами приведения суммы синусов и косинусов к произведению:

sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A−B)/2),
cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A−B)/2).

Подставляем A = 20° и B = 40°:

  • Для числителя:
    sin 20° + sin 40° = 2 sin((20° + 40°)/2) cos((20°−40°)/2)
    = 2 sin 30° cos (−10°).
    Заметим, что cos (−10°) = cos 10°, так как функция косинуса чётная.

  • Для знаменателя:
    cos 20° + cos 40° = 2 cos((20° + 40°)/2) cos((20°−40°)/2)
    = 2 cos 30° cos (−10°) = 2 cos 30° cos 10°.

Таким образом, получаем:

( sin 20° + sin 40° ) / ( cos 20° + cos 40° ) = (2 sin 30° cos 10°) / (2 cos 30° cos 10°).

Сокращаем общий множитель 2 cos 10°:

= sin 30° / cos 30°.

Значения sin 30° = 1/2 и cos 30° = √3/2 дают:

= (1/2) / (√3/2) = 1/√3 = √3/3.

Ответ: √3/3.

3

  1. Есептің шарты: Берілген тригонометриялық өрнекті, яғни
    [
    \frac{\sin 20° + \sin 40°}{\cos 20° + \cos 40°}
    ]
    есептеу қажет.

  2. Шешу жолы:
    • Алдымен қосындыға арналған тригонометриялық формулаларды қолданамыз.

  • (\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2})
  • (\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2})

• (a = 20°) және (b = 40°) болғанда:

  • Үстінгі қосынды:
    [
    \sin 20° + \sin 40° = 2\sin\frac{20°+40°}{2}\cos\frac{20°-40°}{2} = 2\sin 30°\cos(-10°)
    ]
    Бірақ (\cos(-10°) = \cos 10°) болғандықтан,
    [
    2\sin 30°\cos 10° = 2\cdot\frac{1}{2}\cos 10° = \cos 10°
    ]

  • Төменгі қосынды:
    [
    \cos 20° + \cos 40° = 2\cos\frac{20°+40°}{2}\cos\frac{20°-40°}{2} = 2\cos 30°\cos(-10°)
    ]
    Сол сияқты (\cos(-10°) = \cos 10°), сондықтан
    [
    2\cos 30°\cos 10° = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cos 10° = \sqrt{3}\cos 10°
    ]

• Енді өрнек былайша жазылады:
[
\frac{\cos 10°}{\sqrt{3}\cos 10°}
]
cos 10° бөлшектің екі жағынан қысқартылып,
[
\frac{1}{\sqrt{3}}
]
шығады.

  1. Қорытынды: Дұрыс жауап
    (\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}) немесе рационалдаған түрде (\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}).