Есептеңіз: \cos24° + \cos48° - \cos84° - \cos12°
Есептеңіз: \cos24° + \cos48° - \cos84° - \cos12°
Мы хотим упростить выражение
cos 24° + cos 48° – cos 84° – cos 12°
Можно сгруппировать его так:
[cos 24° – cos 12°] + [cos 48° – cos 84°].
Используем формулу разности косинусов:
cos A – cos B = –2 sin[(A + B)/2] sin[(A – B)/2].
Рассмотрим первую группу:
cos 24° – cos 12° = –2 sin[(24° + 12°)/2] sin[(24° – 12°)/2]
= –2 sin(18°) sin(6°).
Теперь вторую группу:
cos 48° – cos 84° = –2 sin[(48° + 84°)/2] sin[(48° – 84°)/2]
= –2 sin(66°) sin(–18°).
Пометим, что sin(–18°) = – sin(18°), тогда:
cos 48° – cos 84° = 2 sin(66°) sin(18°).
Таким образом, исходное выражение становится:
–2 sin(18°) sin(6°) + 2 sin(66°) sin(18°).
Вынесем общий множитель 2 sin(18°):
2 sin(18°) [sin(66°) – sin(6°)].
Чтобы упростить разность sin(66°) – sin(6°), применим формулу разности синусов:
sin A – sin B = 2 cos[(A + B)/2] sin[(A – B)/2].
Подставим A = 66° и B = 6°:
sin(66°) – sin(6°) = 2 cos[(66° + 6°)/2] sin[(66° – 6°)/2]
= 2 cos(36°) sin(30°).
Известно, что sin(30°) = 1/2, следовательно:
sin(66°) – sin(6°) = 2 cos(36°) · (1/2) = cos(36°).
Тогда общее выражение принимает вид:
2 sin(18°) cos(36°).
Значения этих функций можно найти через известные соотношения:
sin(18°) = (√5 – 1)/4 (примерно 0.309),
cos(36°) = (√5 + 1)/4 (примерно 0.809).
Тогда их произведение:
2 sin(18°) cos(36°) ≈ 2 · 0.309 · 0.809 ≈ 0.5.
Таким образом, верный результат:
cos 24° + cos 48° – cos 84° – cos 12° = 1/2.
Мәселе:
(\cos24^{\circ} + \cos48^{\circ} - \cos84^{\circ} - \cos12^{\circ}) өрнегін есептеу.
Бірінші қадам – берілген косинусты қосу және алу амалдарын топтастырып, ыңғайлы түрге келтіру. Өрнекті былай топтастыруға болады:
((\cos24^{\circ} - \cos12^{\circ}) + (\cos48^{\circ} - \cos84^{\circ})).
Әрбір топты бөлек шешеміз.
-
(\cos24^{\circ} - \cos12^{\circ})
Косинустардың айырмасы мына формула бойынша жазылады:
[
\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right).
]
Анықтап алайық:
(A = 24^{\circ}) және (B = 12^{\circ}).
Онда:
[
\cos24^{\circ} - \cos12^{\circ} = -2 \sin\left(\frac{24^{\circ}+12^{\circ}}{2}\right)
\sin\left(\frac{24^{\circ}-12^{\circ}}{2}\right) = -2 \sin(18^{\circ}) \sin(6^{\circ}).
] -
(\cos48^{\circ} - \cos84^{\circ})
Қайтадан қолданамыз:
(A = 48^{\circ}) және (B = 84^{\circ}).
Онда:
[
\cos48^{\circ} - \cos84^{\circ} = -2 \sin\left(\frac{48^{\circ}+84^{\circ}}{2}\right)
\sin\left(\frac{48^{\circ}-84^{\circ}}{2}\right).
]
Есептейміз:
[
\frac{48^{\circ}+84^{\circ}}{2} = 66^{\circ},\quad \frac{48^{\circ}-84^{\circ}}{2} = -18^{\circ}.
]
Ескерсек, (\sin(-18^{\circ}) = -\sin18^{\circ}), сондықтан:
[
\cos48^{\circ} - \cos84^{\circ} = -2 \sin66^{\circ}(-\sin18^{\circ}) = 2 \sin66^{\circ} \sin18^{\circ}.
]
Бізде топтардың қосындысы:
[
-2 \sin18^{\circ} \sin6^{\circ} + 2 \sin66^{\circ} \sin18^{\circ} = 2 \sin18^{\circ} \left(\sin66^{\circ} - \sin6^{\circ}\right).
]
Келесі қадам – (\sin66^{\circ} - \sin6^{\circ}) айырмасын нәтижелі түрде есептеу:
Синустардың айырмасы үшін формула:
[
\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right).
]
Мұндағы (A = 66^{\circ}) және (B = 6^{\circ}).
Онда:
[
\sin66^{\circ} - \sin6^{\circ} = 2 \cos\left(\frac{66^{\circ}+6^{\circ}}{2}\right)
\sin\left(\frac{66^{\circ}-6^{\circ}}{2}\right) = 2 \cos36^{\circ} \sin30^{\circ}.
]
Бірақ (\sin30^{\circ} = \frac{1}{2}), сондықтан:
[
\sin66^{\circ} - \sin6^{\circ} = 2 \cos36^{\circ} \cdot \frac{1}{2} = \cos36^{\circ}.
]
Өрнек енді былай болады:
[
2 \sin18^{\circ} \cdot \cos36^{\circ}.
]
Бізге белгілі, арнайы бұрыштардың мәндері:
(\sin18^{\circ} \approx 0.309017) және (\cos36^{\circ} \approx 0.809017).
Есептейміз:
[
2 \cdot 0.309017 \cdot 0.809017 \approx 2 \cdot 0.25 = 0.5.
]
Қорытындылай келе,
(\cos24^{\circ} + \cos48^{\circ} - \cos84^{\circ} - \cos12^{\circ} = 0.5.)
Демек, дұрыс жауап: (\frac{1}{2}).