Есептеңіз: \cos 75°
Есептеңіз: \cos 75°
В задаче требуется вычислить значение (\cos 75^\circ). Рассмотрим, как можно это сделать.
Запишем угол (75^\circ) в виде суммы углов, хорошо известных из тригонометрии. Например, заметим, что
[
75^\circ = 45^\circ + 30^\circ.
]
Применяем формулу косинуса суммы двух углов:
[
\cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B.
]
Подставляем (A = 45^\circ) и (B = 30^\circ):
[
\cos 75^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ.
]
Из таблиц значений углов имеем:
[
\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.
]
Подставляем эти значения:
[
\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}
= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}.
]
Можно вынести общий знаменатель:
[
\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.
]
Это и есть конечный ответ.
Есептің мақсаты – 75° бұрышының косинусын табу. Бұл есепті шығару үшін косинустың қосу формуласы қолданылады.
Біз білеміз:
cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β.
75° бұрышын 45° және 30° бұрыштарының қосындысы ретінде жазуға болады, яғни:
75° = 45° + 30°.
Осылайша,
cos 75° = cos(45° + 30°) = cos 45° · cos 30° − sin 45° · sin 30°.
Енді осы бұрыштардың мәндерін білеміз:
cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2},
cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, sin 30° = \frac{1}{2}.
Осы мәндерді формулаға қойсақ:
cos 75° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}
= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}
= \displaystyle \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.
Дұрыс жауап: \displaystyle \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.