Есептеңіз: \arcsin\left(\sin \frac{5π}{4}\right).
Есептеңіз: \arcsin\left(\sin \frac{5π}{4}\right).
Рассмотрим задачу: требуется вычислить значение выражения arcsin(sin(5π/4)).
Сначала найдём (\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)). Угол (\frac{5\pi}{4}) находится во второй половине круга (на третьей четверти), где синус имеет отрицательное значение. Напомним, что (\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}).
Затем переходим к арксинусу. Функция arcsin возвращает угол в интервале (\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]). Нам нужно найти такой угол (y) из этого интервала, что (\sin y = -\frac{\sqrt{2}}{2}). Очевидно, что подходящим значением является (y = -\frac{\pi}{4}), поскольку (\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}).
Таким образом, окончательный ответ:
[
\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\pi}{4}.
]
Сәлем! Сізден берілген тапсырма — ( \arcsin\left(\sin \frac{5\pi}{4}\right) ) мәнін есептеу. Есептің өзегі — тригонометриялық функциялардың қасиеттерін пайдаланып, ( \arcsin ) функциясының анықталған интервалын ескеру.
Алдымен, (\sin \frac{5\pi}{4}) мәнін табайық. ( \frac{5\pi}{4} ) бұрышы 3-ші үлкен төртбұрышта орналасқан, сондықтан синусы теріс болады:
• (\sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}).
Енді ( \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) ) мәнін анықтау керек. Алайда ( \arcsin ) функциясы негізгі интервалда анықталады, яғни (\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]). Бұл интервал ішінде, (-\frac{\sqrt{2}}{2}) синус шамасына сәйкес бұрыш (-\frac{\pi}{4}) болады, себебі:
• (\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}).
Осылайша, есептің дұрыс нәтижесі:
[
\arcsin\left(\sin \frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\pi}{4}.
]
Бұл шешім мына қағидаларға негізделеді:
• (\sin) функциясы кез келген бұрышқа мән береді, бірақ ( \arcsin ) функциясы кері функция ретінде алғанда оның негізгі интервалында ((\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right])) жұмыс істейді.
• ( \frac{5\pi}{4} ) бұрышының синусы ( -\frac{\sqrt{2}}{2} ) болғандықтан, ( \arcsin ) бұл мәнге сәйкес келетін бұрышты, яғни (-\frac{\pi}{4}) табады.
Қорытындылай келе, сіздің берілген тапсырмаңыздың жауабы:
[
-\frac{\pi}{4}.
]