Есептеңіз: 8\cos10° \cos20° \cos40°
Есептеңіз: 8\cos10° \cos20° \cos40°
Мы должны вычислить выражение 8·cos10°·cos20°·cos40°. Для этого можно воспользоваться известной тригонометрической формулой:
cos A · cos 2A · cos 4A = (sin 8A)⁄(8·sin A)
Подставим A = 10°:
cos10°·cos20°·cos40° = (sin 80°)⁄(8·sin10°)
Умножим обе части равенства на 8:
8·cos10°·cos20°·cos40° = sin 80°⁄sin10°
Заметим, что sin 80° = cos 10° (так как sin(90°–θ) = cos θ), поэтому:
8·cos10°·cos20°·cos40° = cos10°⁄sin10° = cot10°
Таким образом, правильный ответ – cot(10°).
Мына есепте қарапайым тригонометриялық формуланы қолданамыз. Сұрақ: 8·cos10°·cos20°·cos40° мәнін табу.
Бірінші қадам – өнімді жеңілдететін тригонометриялық сәйкестікті қолдану. Өнімді cosθ, cos2θ, cos4θ түрінде жазғанда, келесі формула қолданылады:
cosθ·cos2θ·cos4θ = (sin8θ)/(8·sinθ).
Осы сәйкестікке сәйкес, θ = 10° қойсақ,
cos10°·cos20°·cos40° = (sin80°)/(8·sin10°).
Берілген есепте өнім 8-ге көбейтілген, яғни:
8·cos10°·cos20°·cos40° = 8 · [(sin80°)/(8·sin10°)] = sin80°/sin10°.
Енді sin80° мәнін қарастырайық. Білесіңдер ме, sin80° = cos10° (өйткені, sin(90°–10°)=cos10°). Сондықтан:
sin80°/sin10° = cos10°/sin10° = cot10°.
Яғни, есептің нәтижесі cot10°.
Демек, дұрыс жауап: \cot10°.