Есептеңіз: $ 8\cos 10° \cos 20° \cos 40° $.
Есептеңіз: $ 8\cos 10° \cos 20° \cos 40° $.
Мы хотим вычислить выражение
8 cos 10° cos 20° cos 40°
Заметим, что существует тригонометрическая формула для произведения косинусов, имеющая вид
cos A · cos 2A · cos 4A = (sin 8A)/(8 sin A)
Подставим A = 10°:
cos 10° · cos 20° · cos 40° = (sin 80°)/(8 sin 10°)
Умножим обе части на 8:
8·cos 10° · cos 20° · cos 40° = (sin 80°)/(sin 10°)
Также замечаем, что sin 80° = cos 10° (так как sin(80°) = cos(10°)). Таким образом, получаем:
(sin 80°)/(sin 10°) = (cos 10°)/(sin 10°) = cot 10°
Ответ:
8 cos 10° cos 20° cos 40° = cot 10°.
Мәселе былай қойылған: 8·cos10°·cos20°·cos40° өрнегінің мәнін табу керек.
Бір танымал тригонометриялық ереже бойынша, егер A болса, онда:
cos A · cos(2A) · cos(4A) = sin(8A)⁄(8·sin A).
Бізге A=10° болғандықтан, өрнекті былай жаза аламыз:
cos10° · cos20° · cos40° = sin80°⁄(8·sin10°).
Енді берілген өрнекке 8-ді көбейтсек:
8·cos10°·cos20°·cos40° = sin80°⁄(sin10°).
Бұдан әрі sin80°-ды ұғынуға болады, себебі sin80° = cos10° (өйткені sin(90°–θ) = cosθ). Демек,
8·cos10°·cos20°·cos40° = cos10°⁄sin10° = cot10°.
Сонымен, өрнектің мәні cot(10°) болады.