Екі шардың беттерінің аудандарының қатынасы 4:1. Көлемдерінің қатынасын табыңыз.
Екі шардың беттерінің аудандарының қатынасы 4:1. Көлемдерінің қатынасын табыңыз.
Задача сводится к нахождению отношения объёмов двух шаров, если известно, что отношение их площадей поверхности равно 4:1.
Площадь поверхности шара задаётся формулой S = 4πr². При равенстве 4πr₁²:4πr₂² = 4:1 можно записать:
r₁² / r₂² = 4/1 ⇒ r₁ / r₂ = √4 = 2.
То есть отношение радиусов равно 2:1.
Объём шара вычисляется по формуле V = 4/3 πr³. Тогда отношение объёмов двух шаров будет таким:
V₁ / V₂ = (r₁³ / r₂³) = (2³ / 1³) = 8/1.
Ответ: отношение объёмов шаров 8:1.
Берілген сұрақта екі шардың беттерінің аудандарының қатынасы 4:1 деп айтылған. Бұл шарлардың бет ауданы мен көлеміне қатысты негізгі формулалар арқылы есептеуді жүргіземіз.
• Алдымен шардың бет ауданының формуласы:
S = 4πr²
Егер шарлардың аудандарының қатынасы 4:1 болса, онда
S₁ / S₂ = 4 → (4πr₁²) / (4πr₂²) = r₁² / r₂² = 4.
Осынан шеңберлердің радиустарының қатынасы:
(r₁ / r₂)² = 4
r₁ / r₂ = √4 = 2.
• Енді шардың көлемі үшін формула:
V = (4/3)πr³
Шарлардың көлемдерінің қатынасы:
V₁ / V₂ = (r₁³) / (r₂³) = (r₁ / r₂)³.
Ал бұдан:
V₁ / V₂ = 2³ = 8.
Қорыта келсек, екі шардың беттерінің ауданының қатынасы 4:1 болса, олардың көлемдерінің қатынасы 8:1 болады.