Екі шардың бет аудандары қатынасы 4:1 болса, көлемдерінің қатынасын табыңыз.
Екі шардың бет аудандары қатынасы 4:1 болса, көлемдерінің қатынасын табыңыз.
В данном задании речь идёт о двух шарах, у которых отношение площадей поверхности равно 4:1. Нужно найти отношение их объёмов.
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле S = 4πR². Если отношение площадей равно 4:1, то отношение квадратов их радиусов будет равняться 4:1. То есть, если обозначить радиусы как R₁ и R₂, то получим:
R₁² / R₂² = 4 / 1
Отсюда, найдём отношение радиусов:
R₁ / R₂ = √4 / √1 = 2/1
Далее, объём шара вычисляется по формуле V = (4/3)πR³. Отношение объёмов двух шаров будет зависеть от отношения кубов их радиусов:
V₁ / V₂ = (R₁³) / (R₂³) = (R₁ / R₂)³ = (2/1)³ = 8/1
Таким образом, объемы шаров находятся в отношении 8:1.
Сіз екі доптың немесе шардың бет аудандарының қатынасы 4:1 болған жағдайда көлемдерінің қатынасын табуды сұрадыңыз.
Алдымен шардың бет ауданы мен көлемін еске түсірейік:
• Шардың бет ауданы: ( A = 4\pi R^2 ).
• Шардың көлемі: ( V = \frac{4}{3}\pi R^3 ).
Енді, егер шарлардың бет аудандарының қатынасы мынадай болса:
[
\frac{A_1}{A_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = 4,
]
онда ( R_1^2:R_2^2 = 4:1 ) болады, яғни ( R_1:R_2 = 2:1 ) (егер квадраттық қатынас 4 болса, онда түбірін алу арқылы радиустардың қатынасы 2:1 болады).
Келесі қадамда көлемдерінің қатынасын табу қажет:
[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3.
]
Аталған жағдайда ( \frac{R_1}{R_2} = 2 ), сондықтан:
[
\frac{V_1}{V_2} = 2^3 = 8.
]
Сонымен, шарлардың көлемдерінің қатынасы 8:1 болады.