Егер \tan α + \cot α = m болса, \tan^3 α + \cot^3 α өрнегінің мәні
Егер \tan α + \cot α = m болса, \tan^3 α + \cot^3 α өрнегінің мәні
В условии дано, что
tanα + cotα = m.
Нам нужно найти значение выражения
tan³α + cot³α.
Для этого воспользуемся формулой суммы кубов, которая выглядит так:
a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b).
Подставляем a = tanα, b = cotα. Тогда получаем:
tan³α + cot³α = (tanα + cotα)³ – 3·tanα·cotα·(tanα + cotα).
Заметим, что tanα·cotα = 1 (так как tanα = sinα/cosα и cotα = cosα/sinα, произведение равно 1).
Теперь подставляем полученные значения:
tan³α + cot³α = m³ – 3·1·m = m³ – 3m.
Таким образом, окончательный ответ:
tan³α + cot³α = m³ – 3m.
Сұрақта берілді: егер (\tan α + \cot α = m) болса, онда (\tan^3 α + \cot^3 α) өрнегін m арқылы қалай өрнектейміз?
Бірінші қадам: (\tan^3 α + \cot^3 α) өрнегін кубтық қосынды формуласын қолдана отырып былай жаза аламыз:
(\tan^3 α + \cot^3 α = (\tan α + \cot α)(\tan^2 α - \tan α \cot α + \cot^2 α)).
Енді назар аудару керек жәйттер:
• (\tan α + \cot α = m).
• (\tan α \cdot \cot α = 1) (осы қасиет тригонометриялық функциялардың көбеюінде жиі қолданылатын факт).
Келесі қадам: ( \tan^2 α + \cot^2 α) табамыз. Оны былай есептейміз:
(\tan^2 α + \cot^2 α = (\tan α + \cot α)^2 - 2\tan α \cot α = m^2 - 2).
Сонда,
(\tan^2 α - \tan α \cot α + \cot^2 α = (\tan^2 α + \cot^2 α) - \tan α \cot α = (m^2 - 2) - 1 = m^2 - 3).
Соңында, бастапқы өрнек былай болады:
(\tan^3 α + \cot^3 α = m \cdot (m^2 - 3)).
Демек, дұрыс жауап:
(\tan^3 α + \cot^3 α = m(m^2-3)).