Егер \tanα + \cotα = m болса, \tan^3α + \cot^3α мәнін тап
Егер \tanα + \cotα = m болса, \tan^3α + \cot^3α мәнін тап
Задание просит выразить сумму кубов тангенса и котангенса через сумму самих функций, заданную равенством tanα + cotα = m.
Обозначим:
x = tanα и y = cotα.
Известно, что произведение tanα и cotα равно 1 (так как tanα·cotα = 1), то есть xy = 1.
Нам нужно найти x³ + y³. Применим формулу разложения суммы кубов:
x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy(x + y).
Подставляем x + y = m и xy = 1:
tan³α + cot³α = m³ – 3·1·m = m³ – 3m.
Таким образом, ответ: tan³α + cot³α = m³ – 3m.
Бастапқы берілген:
(\tan \alpha + \cot \alpha = m).
Мұнда қадам-қадам бойынша шығарайық:
• Ең алдымен, (\tan \alpha) және (\cot \alpha) арасындағы қатынасты еске түсірейік. Өйткені (\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}), сондықтан олардың көбейтіндісі
(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \tan \alpha \cdot \frac{1}{\tan \alpha} = 1).
• Енді (\tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha) есебін шығару үшін кубтық қосынды формуласын қолданамыз:
(a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)).
Мұнда (a=\tan \alpha) және (b=\cot \alpha). Сондықтан:
[
\tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha = (\tan \alpha + \cot \alpha)^3 - 3\tan \alpha, \cot \alpha, (\tan \alpha+\cot \alpha).
]
• Берілгенге сәйкес (\tan \alpha+\cot \alpha = m) және (\tan \alpha, \cot \alpha = 1) болғандықтан, формуладағы мәндерді орнына қоямыз:
[
\tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha = m^3 - 3\cdot1\cdot m = m^3 - 3m.
]
Қорытындылай келе, жауап:
(\boxed{m^3 - 3m}).