Егер \tan(45° + α) = a болса, \tan α мәні
Егер \tan(45° + α) = a болса, \tan α мәні
Мәселе: Егер (\tan(45° + α) = a) болса, (\tan α) мәнін табу керек.
Бірінші қадамда, тангенс қосындылар формуласын қолданамыз:
[
\tan(45° + α) = \frac{\tan 45° + \tan α}{1 - \tan 45° \tan α}.
]
Бізге (\tan 45° = 1) екенін білеміз, сондықтан формуланы келесідей жазамыз:
[
\frac{1 + \tan α}{1 - \tan α} = a.
]
Келесі қадамда, бұл теңдеуден (\tan α)-ны шығарып аламыз. Алдымен, екі жақты да (1 - \tan α) көбейтеміз (ұлттық жағдайда (1 - \tan α \neq 0)):
[
1 + \tan α = a(1 - \tan α).
]
Осыдан теңдеуді ашамыз:
[
1 + \tan α = a - a \tan α.
]
(\tan α) шамаларын бір жаққа жинаймыз:
[
\tan α + a \tan α = a - 1.
]
Факторизация жасап, (\tan α(1 + a) = a - 1) аламыз. Соңында, (\tan α)-ны бөліп аламыз:
[
\tan α = \frac{a - 1}{1 + a}.
]
Осылайша, (\tan α = \frac{a - 1}{a + 1}) болады. Бұл нәтижеге жету үшін тангенс қосындысының формуласын қолдандық және теңдеуді ықшамдап шештік.
В условии дано равенство:
tan(45° + α) = a
Найдем tan α, используя формулу тангенса суммы углов. Напомним, что для углов A и B верна формула:
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 – tan A · tan B).
Подставим A = 45° (при котором tan 45° = 1) и B = α:
tan(45° + α) = (1 + tan α) / (1 – tan α).
Так как по условию tan(45° + α) = a, имеем:
(1 + tan α) / (1 – tan α) = a.
Обозначим tan α за t для простоты записи:
(1 + t) / (1 – t) = a.
Решим это уравнение относительно t. Перемножим:
1 + t = a(1 – t).
Раскрываем правую часть:
1 + t = a – a t.
Переносим всё, что содержит t, в одну сторону, а константы – в другую:
t + a t = a – 1.
Вынесем t за скобки:
t(1 + a) = a – 1.
При условии, что 1 + a ≠ 0, получаем:
t = (a – 1) / (a + 1).
Вернемся к исходной переменной:
tan α = (a – 1) / (a + 1).
Таким образом, ответ: tan α = (a – 1) / (a + 1).