Егер $ \sin α = \frac{5}{13} $, $ 90° < α < 180° $ болса, $ \cos α $ мәні.
Егер $ \sin α = \frac{5}{13} $, $ 90° < α < 180° $ болса, $ \cos α $ мәні.
Дано, что sinα = 5/13, а угол α находится во второй четверти (90° < α < 180°), где косинус всегда отрицательный.
Используем основное тригонометрическое тождество:
sin²α + cos²α = 1.
Подставляем sinα:
(5/13)² + cos²α = 1 → 25/169 + cos²α = 1.
Отсюда находим:
cos²α = 1 - 25/169 = (169 - 25) / 169 = 144/169.
Так как угол находится во второй четверти, выбираем отрицательное значение:
cosα = -√(144/169) = -12/13.
Таким образом, cosα = -12/13.
Сізден сұралған тапсырмада: «Егер (\sin \alpha = \frac{5}{13}) және (90^\circ < \alpha < 180^\circ) болса, онда (\cos \alpha) мәнін табу» талап етіледі.
Бірінші қадам – синустың анықтамасы бойынша үшбұрыштың қарсы қабырының гипотенузаға қатынасы берілген. Сондықтан қарсы қабырға (5) және гипотенуза (13) деп алайық. Үшбұрыштың қалған қабырғасын Пифагор теоремасы бойынша табамыз:
(\text{қалың қабырға} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12).
Алайда бұрыш ( \alpha ) екінші квадрантта орналасқандықтан (90° мен 180° аралығында), бірінші квадранттағыдай оң емес, (\cos \alpha) мәні теріс болады. Сондықтан:
(\cos \alpha = -\frac{12}{13}).
Бұл жерде пайдаланған қағида – ( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ) теңдігі, одан (\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = \frac{144}{169}) екенін табамыз, кейін шартына сәйкес таңбасын анықтаймыз.
Демек, дұрыс жауап: (\cos \alpha = -\frac{12}{13}).