Егер \sinα = -\frac{3}{5}, 180° < α < 270° болса, \tanα мәні
Егер \sinα = -\frac{3}{5}, 180° < α < 270° болса, \tanα мәні
Задача требует найти значение тангенса угла, зная синус и диапазон угла. Нам известно, что sinα = –3/5, а угол находится в третьей четверти (180° < α < 270°). В третьей четверти и синус, и косинус отрицательны, а тангенс, который является отношением синуса к косинусу, получается положительным.
-
Сначала следует найти косинус. Из тригонометрического тождества
sin²α + cos²α = 1
подставляем значение синуса:
(–3/5)² + cos²α = 1
9/25 + cos²α = 1
cos²α = 1 – 9/25 = 16/25
Так как угол находится в III четверти, где косинус отрицательный, получаем:
cosα = –4/5. -
Тангенс равен отношению синуса к косинусу:
tanα = sinα / cosα = (–3/5) / (–4/5).
При делении дробей кратные 5 сокращаются, и минусы сокращаются, поэтому:
tanα = 3/4.
Таким образом, при sinα = –3/5 и угле в диапазоне (180°, 270°) tanα = 3/4.
Берілген сұрақта: “Егер (\sin \alpha = -\frac{3}{5}) және (180° < \alpha < 270°) болса, (\tan \alpha) мәнін табу керек.” Бұл жерде (\alpha) бұрышы үшін (180° < \alpha < 270°) шаршысы, яғни 3-ші төртбұрыш, сондықтан (\sin) және (\cos) мәндері екеуі де теріс болады.
-
Ең алдымен, (\sin) және (\cos) арасындағы Пифагор теоремасын қолданамыз:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
]
Бізде (\sin \alpha = -\frac{3}{5}) болғандықтан,
[
\left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1.
]
Осыдан, (\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}). -
Негізгі функцияның теріс мәнінен (\alpha) 3-ші төртбұрышта екенін ескере отырып, (\cos \alpha) теріс болады:
[
\cos \alpha = -\frac{4}{5}.
] -
(\tan \alpha) функциясы - синустың косинусқа бөлінген мәні:
[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}.
]
Қорытындылай келе, (\tan \alpha = \frac{3}{4}).