Егер $ \cos φ = \frac{5}{13} $ және $ φ $ IV ширекте болса, $ \sin 2φ $ мәнін табыңыз.
Егер $ \cos φ = \frac{5}{13} $ және $ φ $ IV ширекте болса, $ \sin 2φ $ мәнін табыңыз.
Рассмотрим, что дано. Нам известно, что
cos φ = 5/13
и угол φ находится в IV четверти. Отсюда следует, что sin φ < 0. Найдём sin φ через основной тригонометрический тождество:
sin² φ + cos² φ = 1
Подставляем cos φ:
sin² φ = 1 - (5/13)² = 1 - 25/169 = (169 - 25)/169 = 144/169
Так как φ находится в IV четверти (где синус отрицательный), получаем:
sin φ = -√(144/169) = -12/13
Используем формулу двойного угла для синуса:
sin 2φ = 2 sin φ cos φ
Подставляем найденные значения:
sin 2φ = 2 × (-12/13) × (5/13) = -120/169
Таким образом, значение sin 2φ равно -120/169.
Берілгеніміз: (\cos φ = \frac{5}{13}) және бұрыш IV ширекте орналасқан. IV ширекте бұрыш болса, (\cos φ) оң, (\sin φ) теріс болады.
Алдымен (\sin φ) табамыз. Тригонометрияның негізгі теңдеуін қолданамыз:
[
\sin^2 φ + \cos^2 φ = 1.
]
Осыдан
[
\sin^2 φ = 1 - \cos^2 φ = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}.
]
Сонда
[
\sin φ = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13},
]
өйткені IV ширекте (\sin φ) теріс.
Енді көп бұрыш формуласы бойынша:
[
\sin 2φ = 2 \sin φ \cos φ.
]
Осыған мәндерді қойсақ:
[
\sin 2φ = 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(\frac{5}{13}\right) = -\frac{120}{169}.
]
Қорыта келе, (\sin 2φ) мәні (-\frac{120}{169}) болады.