Дифференциалдық теңдеуді шешіңіз: y' = 2xy.
Дифференциалдық теңдеуді шешіңіз: y' = 2xy.
Задача требует найти общее решение дифференциального уравнения y’ = 2xy. Можно заметить, что уравнение является разделимым, то есть его можно привести к виду, где все члены с y находятся с одной стороны, а с x – с другой.
Начинаем с записи уравнения:
dy/dx = 2xy
Отделяем переменные, разделив обе части уравнения на y (при условии y ≠ 0):
(1/y) dy/dx = 2x или (1/y) dy = 2x dx
Интегрируем обе части:
∫ (1/y) dy = ∫ 2x dx
Выполненная интеграция даёт:
ln |y| = x² + C (где C – произвольная постоянная интегрирования)
Чтобы выразить y, возводим обе части в экспоненту:
|y| = e^(x² + C) = e^(x²) · e^C
Обозначим произвольную постоянную e^C новой произвольной постоянной, которую можем назвать A. Тогда получаем:
|y| = A e^(x²)
Поскольку A может быть любым положительным числом, а знак модуля позволяет записать произвольный множитель, общее решение можно записать в виде:
y = C e^(x²), где C – произвольная постоянная.
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y(x) = C e^(x²).
Үсыныста берілген дифференциалдық теңдеу:
y’ = 2xy.
Бұны шешу үшін келесі қадамдарды орындадық:
• Теңдеуді айнымалыларға бөлдік. y’ = dy/dx болғандықтан, теңдеуді былай жазуға болады:
dy/dx = 2xy.
Екі жақты да y-ға бөлу арқылы:
(1/y) dy/dx = 2x.
Содан соң dx-ті көбейтіп:
(1/y) dy = 2x dx.
• Енді екі жақты интегралдадық:
∫ (1/y) dy = ∫ 2x dx.
Нәтижесінде:
ln |y| = x² + C,
мұнда C – еркін константа.
• Соңғы қадам ретінде экспоненциал функциясын қолдандық:
|y| = e^(x² + C) = e^(x²) · e^C.
e^C дегенін жай кез-келген тұрақты A деп белгілесек, жалпы шешімі:
y = A e^(x²),
мұнда A – кез келген нақты сан (оң немесе теріс мәндерді де қамтиды).
Осылайша, дұрыс шешім:
y = A e^(x²).