Дифференциалдық теңдеуді шешіңіз: $ y’ = 2xy $, $ y(0) = 1 $
Дифференциалдық теңдеуді шешіңіз: $ y’ = 2xy $, $ y(0) = 1 $
Мы имеем дифференциальное уравнение y’ = 2xy с начальным условием y(0) = 1. Задачу можно решить методом разделения переменных.
Записываем уравнение в виде:
dy/dx = 2xy.
Разделяем переменные, делим обе части на y (при условии, что y ≠ 0):
(1/y) dy = 2x dx.
Интегрируем обе части:
∫(1/y) dy = ∫ 2x dx,
откуда получаем:
ln |y| = x² + C.
Применяем начальное условие y(0) = 1:
ln |1| = 0² + C ⟹ 0 = 0 + C, таким образом, C = 0.
Получаем:
ln |y| = x².
Поскольку y(0) = 1 > 0, можно опустить модуль:
y = exp(x²).
Ответ: y(x) = exp(x²).
Берілген есепте ( y’ = 2xy ) теңдеуі және ( y(0) = 1 ) бастапқы шарты қарастырылып отыр. Оның шешімін табу үшін айнымалыларды бөлу әдісін қолданамыз.
-
Алдымен, теңдеуді келесі түрде қайта жазамыз:
(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2xy). -
Айнымалыларды бөлейік:
(\displaystyle \frac{dy}{y} = 2x,dx). -
Екі жағынан интеграл аламыз:
(\displaystyle \int \frac{dy}{y} = \int 2x,dx). -
Интегралдау нәтижелері:
Сол жағынан: (\displaystyle \ln|y| + C_1),
Оң жағынан: (\displaystyle x^2 + C_2).
Бекіту үшін константаларды біріктіріп, былай жазамыз:
(\displaystyle \ln|y| = x^2 + C), мұндағы (C = C_2 - C_1).
- Екі жақтан экспонент аламыз:
(\displaystyle |y| = e^{x^2+C} = e^C e^{x^2}).
Константаны (A = e^C) деп белгілейміз, сондықтан
(\displaystyle y = Ae^{x^2}).
- Берілген бастапқы шартты қолданамыз: ( y(0) = 1 ).
Осыны қоямыз:
(\displaystyle 1 = A e^{0^2} = A\cdot1), сондықтан (A=1).
Қорытындылай келе, теңдеудің шешімі:
(\displaystyle y = e^{x^2}).