Дербес туындыны табыңыз: $ f(x,y) = x^3y^2 - \frac{2y}{x} $, $ \frac{∂f}{∂x} $
Дербес туындыны табыңыз: $ f(x,y) = x^3y^2 - \frac{2y}{x} $, $ \frac{∂f}{∂x} $
Функция задана как
f(x,y) = x³y² - (2y)/x.
Найдём частную производную по x, считая y постоянной.
Для первого слагаемого x³y²:
∂/∂x (x³y²) = y² ∂/∂x (x³) = 3x²y².
Второе слагаемое можно переписать как -2y·x^(–1). Тогда
∂/∂x (–2y·x^(–1)) = –2y · (–1)x^(–2) = 2y·x^(–2) = 2y/x².
Объединяя полученные результаты, получаем:
∂f/∂x = 3x²y² + 2y/x².
Берілген функция:
( f(x,y) = x^3y^2 - \frac{2y}{x} ).
Біз осы функцияның ( x ) бойынша дербес туындысын табуымыз керек. Бұл жағдайда ( y )-ды өзгермелі етіп емес, тұрақты деп қабылдаймыз.
- Алғашқы қосынды ( x^3y^2 ):
- Мұнда ( y^2 ) тұрақтылық қасиетке ие, сондықтан оны алға шығаруға болады.
- ( x^3 )-тің туындысы: ( \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 ).
- Демек, бірінші бөлімнің туындысы: ( 3x^2y^2 ).
- Екінші қосынды ( -\frac{2y}{x} ):
- Мұны ( -2y \cdot x^{-1} ) деп жаза аламыз.
- Мұнда ( -2y ) тұрақты, ал ( x^{-1} ) функциясының туындысы ( -x^{-2} ).
- Сәйкесінше, екінші бөлімнің туындысы:
( -2y \cdot (-x^{-2}) = 2y \cdot x^{-2} = \frac{2y}{x^2} ).
Қорытындылай келе, функцияның ( x ) бойынша дербес туындысы келесі түрде болады:
[
\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 + \frac{2y}{x^2}.
]