Дұрыс төртбұрышты пирамиданың толық беті 3a^2, табанының қабырғасы a. Көлемін табыңыз.
Дұрыс төртбұрышты пирамиданың толық беті 3a^2, табанының қабырғасы a. Көлемін табыңыз.
Сіз берілген есепте дұрыс төртбұрышты пирамиданың толық беті, яғни жалпы бетінің ауданы (3a^2), ал табанының қабырғасы (a) деп шарт қойылған. Енді есепті шешуге көшейік.
Алдымен, пирамиданың толық беті оның табанының ауданы мен бүйірлерінің аудандарының қосындысына тең. Табанның ауданы:
(\displaystyle a^2).
Бүйірлер – пирамиданың төртуі де тең бүйір үшбұрыш. Әрбір үшбұрыштың ауданы:
(\displaystyle \frac{1}{2}a\ell),
мұндағы (\ell) – үшбұрыштың биіктігі (пирамида жағындағы шүйіндегі биіктік). Барлығының ауданы:
(\displaystyle 4\cdot\frac{1}{2}a\ell = 2a\ell).
Жалпы бет ауданы:
(\displaystyle a^2 + 2a\ell = 3a^2).
Осыдан:
(2a\ell = 3a^2 - a^2 = 2a^2),
сондықтан (\ell = a).
Енді, дұрыс төртбұрышты пирамидада шүйіндегі ((\ell)) және биіктіктің ((h)) байланысы:
(\displaystyle \ell^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2).
Берілген (\ell=a):
(a^2 = h^2 + \frac{a^2}{4}).
Осыдан:
(h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}),
сондықтан (h = \frac{a\sqrt{3}}{2}).
Пирамиданың көлемі формуласы:
(\displaystyle V = \frac{1}{3}, \text{(табан ауданы)}\times h = \frac{1}{3}a^2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}).
Қорытындылай келе, пирамиданың көлемі:
(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}a^3).
Сұрақтың шарттары мен шешу жолын ескере отырып, дәл осы жауап дұрыс екенін анықтауға болады.
В данном задании нужно найти объем правильной квадратной пирамиды, если известна её полная площадь равна 3a², а сторона основания равна a.
Сначала заметим, что площадь основания пирамиды равна a², следовательно, площадь боковых граней равна 3a² – a² = 2a². Для правильной пирамиды площадь боковых граней можно выразить через полупериметр основания и наклонную высоту (l) так:
S_бок = ½ · (4a) · l = 2a·l.
Приравнивая 2a·l = 2a², находим наклонную высоту:
l = a.
Далее, связь между наклонной высотой l, высотой пирамиды h и половиной стороны основания (a/2) определяется по теореме Пифагора в боковом треугольнике:
l² = h² + (a/2)²,
откуда
h² = l² – (a/2)² = a² – a²/4 = (3a²)/4.
Отсюда получаем:
h = a·√3/2.
Зная высоту, объем пирамиды вычисляется по формуле:
V = 1/3 · (площадь основания) · h = 1/3 · a² · (a·√3/2) = (a³·√3)/6.
Таким образом, объем пирамиды равен (a³·√3)/6.