Дұрыс төртбұрышты пирамиданың апофемасы 8 см, бүйір қыры 10 см болса, пирамиданың көлемін табыңыз.
Дұрыс төртбұрышты пирамиданың апофемасы 8 см, бүйір қыры 10 см болса, пирамиданың көлемін табыңыз.
Мына сұрақта дұрыс төртбұрышты пирамиданың апофемасы (тетрапирамиданың бүйір беттерінің биіктігі) 8 см, ал бүйір қыры (пірамиданың төбесінен негізгі бұрыштарына дейінгі қашықтық) – 10 см деп берілген.
• Ең алдымен, дұрыс төртбұрышты пирамиданың әрбір бүйір қабырғасының қырынан (лепестктің қабырғасы) табылатын үшбұрыш – теңырқанды үшбұрыш екенін еске аламыз, оның тең жақтарының ұзындығы – пирамиданың бүйір қыры (10 см), ал үшбұрыштың биіктігі – оның апофемасы (8 см).
Теңырқанды үшбұрышта биіктікті табуға болады:
( l^2 = L^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 )
Мұндағы ( L = 10 ) см, ( l = 8 ) см және ( a ) – негізгі төртбұрыштың қабырғасының ұзындығы.
Осыдан:
( a = 2\sqrt{L^2 - l^2} = 2\sqrt{100-64} = 2\sqrt{36} = 12 ) см.
• Енді негізгі шаршының қабырғасы ( a = 12 ) см болған соң, оның ауданы ( S = a^2 = 144 ) см² болады.
• Келесі қадамда, пирамиданың биіктігін табамыз. Пирамиданың төбесі негізінің ортасында орналасқандықтан, төбеден негіздің ортасына дейінгі қашықтық – биіктік (( h )), ал негіздің ортасынан төбенің негіз бұрышы (шөп бұрышы) – ( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} ) болады, яғни
( \dfrac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} ) см.
Пифагор теоремасы бойынша:
( h^2 + (6\sqrt{2})^2 = L^2 )
( h^2 + 72 = 100 )
( h^2 = 28 )
( h = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} ) см.
• Соңында, пирамиданың көлемін табамыз:
( V = \dfrac{1}{3} \times \text{негіз ауданы} \times h )
( V = \dfrac{1}{3} \times 144 \times 2\sqrt{7} = 96\sqrt{7} ) см³.
Нәтижесінде, пирамиданың көлемі ( 96\sqrt{7} ) см³.
Задание требует найти объем правильной четырёхугольной пирамиды, если известны апофема (высота треугольной боковой грани) равная 8 см и боковое ребро (ребро от вершины пирамиды к вершине основания) равно 10 см.
Начнём с боковой грани пирамиды. Эта грань представляет собой равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны (ребра пирамиды) по 10 см, а высота (апофема) равна 8 см. Если опустить высоту треугольника на основание, она делит его пополам. Обозначим сторону квадрата основания через a. Тогда половина стороны равна a/2. Применим теорему Пифагора в этом треугольнике:
10² – (a/2)² = 8².
Подставляем числа:
100 – (a²)/4 = 64 ⟹ (a²)/4 = 100 – 64 = 36 ⟹ a² = 144.
Отсюда находим a = 12 см. Таким образом, основание пирамиды – квадрат со стороной 12 см, его площадь равна:
S = 12² = 144 см².
Определим высоту пирамиды (перпендикуляр из вершины на центр основания). Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один катет – высота H пирамиды, а другой – расстояние от центра квадрата до середины его стороны. Для квадрата это расстояние равно a/2, то есть 6 см. В боковой грани, где апофема равна 8 см, выполняется соотношение:
8² = H² + 6² ⟹ H² = 64 – 36 = 28 ⟹ H = √28 = 2√7 см.
Проверим боковое ребро: расстояние от центра основания до его вершины в квадрате равно 6√2 см, и тогда по Пифагору:
(2√7)² + (6√2)² = 4·7 + 72 = 28 + 72 = 100,
корень из 100 равен 10 см, что соответствует заданному боковому ребру.
Теперь найдём объем пирамиды по формуле:
V = (1/3)·S·H = (1/3)·144·(2√7) = (288√7)/3 = 96√7 см³.
Итак, объем пирамиды равен 96√7 см³, что приблизительно равно 254,2 см³.