Дұрыс төртбұрышты пирамиданың апофемасы 8 см, бүйір қыры 10 см болса, көлемін табыңыз.
Дұрыс төртбұрышты пирамиданың апофемасы 8 см, бүйір қыры 10 см болса, көлемін табыңыз.
Рассмотрим условие задачи. Нам дана правильная четырёхугольная пирамида с апофемой (то есть высотой боковой грани) равной 8 см и боковым ребром равным 10 см. Нужно найти объём пирамиды.
Чтобы найти объём, нам необходимо знать площадь основания и высоту пирамиды. Обозначим сторону квадрата основания через a, а высоту пирамиды – через h.
Напомним, что объём пирамиды вычисляется по формуле
V = (1/3)·P·h,
где P – площадь основания, а h – высота пирамиды.
У нас есть две важные части:
-
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды h, половиной стороны основания (a/2) и апофемой (8 см) – высотой боковой грани. Тогда по теореме Пифагора имеем
8² = h² + (a/2)², то есть 64 = h² + a²/4. (1) -
Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, где одним катетом является высота пирамиды h, а другим – расстояние от центра основания до вершины квадрата. Для квадрата это расстояние равно a/√2, а гипотенуза – боковое ребро 10 см. Тогда
10² = h² + (a/√2)², то есть 100 = h² + a²/2. (2)
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
100 – 64 = (h² + a²/2) – (h² + a²/4),
36 = a²/2 – a²/4 = (a²)/4.
Отсюда
a² = 36·4 = 144, значит a = 12 см.
Теперь найдём высоту h. Подставляем a в уравнение (1):
64 = h² + (12²)/4 = h² + 144/4 = h² + 36,
h² = 64 – 36 = 28,
h = √28 = 2√7 см.
Площадь основания (квадрат со стороной 12 см):
P = 12² = 144 см².
Наконец, объём пирамиды:
V = (1/3)·144·(2√7) = (288√7)/3 = 96√7 см³.
Ответ: объём пирамиды равен 96√7 см³.
Пирамида туралы сұрақта бізге дұрыс төртбұрышты пирамида берілген, оның апофемасы (бүйір үшбұрышының биіктігі) 8 см, ал бүйір қыры (бүйір қабырғадан төбесіне дейінгі қашықтық) 10 см екені айтылған.
Бірінші қадам – негізбен байланысты бүйір үшбұрыштағы қатынасты табу. Дұрыс пирамидада бүйір үшбұрыштың негізі – шаршының қабырғасы, ал апофема осы үшбұрыштың биіктігі болады. Сондай үшбұрыштың төбесінің бір жақ бұрышы базалық қабырғаның орта нүктесінде орналасады. Демек, апофема (8 см) мен қабырғаның орта нүктесінен шетіндегі қашықтық (яғни, қабырғаның жартысы, a/2) арасында Пифагор теоремасы бойынша келесі байланыс бар:
(a/2)² + 8² = 10²
Осы теңдеуді шеше отырып:
(a/2)² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36
a/2 = 6 ⇒ a = 12 см
Енді пирамида биіктігін табамыз. Тік пирамидада төбеден шаршының ортасына дейінгі қашықтық H мен қабырғаның жартысы (a/2 = 6 см) және апофеманың арасындағы қатынас былай өрнектеледі:
H² + (a/2)² = 8²
Орнына қоямыз:
H² = 8² − 6² = 64 − 36 = 28
H = √28 = 2√7 см
Пирамида көлемі былай есептеледі:
V = (1/3) × негіз ауданы × биіктік,
мұндағы негіз ауданы a² = 12² = 144 см².
Сонда:
V = (1/3) × 144 × 2√7 = 48 × 2√7 = 96√7 см³
Жауап: Дұрыс төртбұрышты пирамиданың көлемі 96√7 см³.