Дұрыс үшбұрышты пирамида төбесіндегі жазық бұрыштар 90°. Табан ауданы 15 болса, бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Дұрыс үшбұрышты пирамида төбесіндегі жазық бұрыштар 90°. Табан ауданы 15 болса, бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Мы имеем задачу на нахождение боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, у которой углы между всеми трёх ребрами, исходящими из вершины, равны 90°. Табан – равносторонний треугольник с площадью 15.
Чтобы построить решение, удобно выбрать систему координат так, чтобы вершина пирамиды S находилась в начале координат, а три боковых ребра совпадали с осями. Пусть
S = (0, 0, 0),
A = (l, 0, 0),
B = (0, l, 0),
C = (0, 0, l).
Так ребра SA, SB и SC взаимно перпендикулярны, что соответствует условию о 90° углах в вершине.
Найдем сторону основания. Основание – треугольник ABC. Вычисляем длины его сторон:
AB = √[(l – 0)² + (0 – l)² + (0 – 0)²] = √(l² + l²) = l√2,
BC = l√2,
CA = l√2.
То есть треугольник ABC – равносторонний со стороной l√2.
Площадь равностороннего треугольника со стороной s равна (√3/4)·s². Подставляем s = l√2:
A₍осн₎ = (√3/4)·(l√2)² = (√3/4)·2l² = (√3/2)·l².
По условию A₍осн₎ = 15, откуда
(√3/2)·l² = 15 ⇒ l² = (15·2)/√3 = 30/√3.
Упростим, домножив числитель и знаменатель на √3:
l² = (30√3)/(3) = 10√3.
Рассмотрим боковые грани. Каждая боковая грань – это треугольник, образованный вершиной S и двумя вершинами основания. Например, для грани SAB:
SA = l, SB = l, и угол между ними равен 90° (так как ребра перпендикулярны).
Её площадь:
A₍SAB₎ = ½·l·l = ½·l² = ½·(10√3) = 5√3.
Аналогично, обе остальные грани (SBC и SCA) имеют ту же площадь – 5√3 каждая.
Таким образом, суммарная площадь боковой поверхности равна:
A₍бок₎ = 3·(5√3) = 15√3.
Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна 15√3.
Пирамидадың төбесіндегі үш жазық бұрыштың 90° болуы оның төбе мен негіз бұрыштарын ерекше байланыстырады. Бұл жағдайда төбеден негіздің әрбір төбесіне жұмсақ бағытталған қабырғалар өзара бір-біріне перпендикуляр болады. Егер төбе қабырғаларының ұзындығы l болса, онда негіз үшбұрыштың қабырғалары келесі қатынаста болады:
немесе s = l√2,
себебі төбедегі екі қабырға перпендикуляр болғандықтан, негіз бұрышы екі қабырғаның векторларының қосындысының ұзындығы l√2 болады.
Негіз үшбұрышының ауданы, егер ол тең бүйірлі (эквивалентті дұрыс үшбұрыш) болса,
A = (√3/4) s².
Бізге A = 15 берілген, сондықтан
(√3/4) s² = 15
⇒ s² = 15 · 4/√3 = 60/√3 = 20√3
⇒ s = √(20√3).
Бізде s = l√2 болғандықтан,
l = s/√2 = √(20√3)/√2 = √(20√3/2) = √(10√3).
Енді әрбір бүйір бет тәке қабырға және негіздің тиісті қабырғасынан тұратын үшбұрыш болады. Мысалы, төбе мен негіздің екі төбесі A және B нүктесімен ICS үшбұрышында OA = OB = l және AB = l√2. Сонда ∠AOB = 90° болғандықтан, үшбұрыш тіктөртбұрыштың жартысы сияқты:
айта кететін жайт – үшбұрыштың ауданы = (1/2) · OA · OB = (1/2) l².
Пирамидада үш бүйір бет болғандықтан, олардың аудандарының қосындысы:
Lateral area = 3 · (1/2 l²) = (3/2) l².
Енді, l² = 10√3 болғанын біле отырып,
бүйір бет ауданы = (3/2) · 10√3 = 15√3.
Демек, дұрыс үшбұрышты пирамидада төбедегі жазық бұрыштар 90° болған жағдайда, негіздің ауданы 15 берілсе, бүйір бет ауданы 15√3 болады.