Дұрыс үшбұрышты пирамида төбесіндегі жазық бұрыштар 90^\circ, табан жазықтығы ауданы 15 болса, бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Дұрыс үшбұрышты пирамида төбесіндегі жазық бұрыштар 90^\circ, табан жазықтығы ауданы 15 болса, бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Задание сводится к следующему: у нас есть правильная треугольная пирамида, у которой все трёхугольные боковые грани имеют прямой угол при вершине. Это означает, что от вершины пирамиды проведённые к вершинам основания отрезки (некоторые называют их боковыми рёбрами) попарно перпендикулярны. При этом основание – равносторонний треугольник с площадью 15.
Если обозначить длину бокового ребра через l, то благодаря взаимной перпендикулярности имеем:
AB = √(l² + l²) = l√2,
BC = l√2,
AC = l√2.
Таким образом получаем равносторонний треугольник с стороной a = l√2.
Площадь равностороннего треугольника определяется формулой:
A = (√3/4)a².
Подставляем a = l√2:
15 = (√3/4)·(l√2)² = (√3/4)·(2l²) = (√3/2)·l².
Отсюда находим l²:
l² = (15·2)/√3 = 30/√3 = (30√3)/3 = 10√3.
Боковая грань – треугольник с прямым углом при вершине (вершина S пирамиды). Её площадь равна:
S₁ = ½·(l·l) = ½·l².
Так как таких граней 3, суммарная площадь боковых граней равна:
S_б = 3·(½·l²) = (3/2)·l².
Подставляем найденное значение:
S_б = (3/2)·(10√3) = 15√3.
Ответ: площадь боковой поверхности равна 15√3.
Пирамида туралы мәселе былай қойылған: дұрыс үшбұрышты пирамидада төбеден базаның әрбір нүктесіне дейінгі векторлар бір-біріне перпендикуляр, яғни төбесіндегі жазық бұрыштар 90° құрайды. Сонымен, пирамидада төбеден үш базалық төбеге дейінгі шеттер тең және өзара тікелесу шартын қанағаттандырады.
Алдымен координаттар жүйесінде пирамида төбесін O деп алайық. Төбеден базалық төбелерге дейінгі векторлардың ұзындығын s деп белгілейік. Олай болса, оларды былай орналастырсақ болады:
A = (s, 0, 0)
B = (0, s, 0)
C = (0, 0, s)
Бұл жағдайда
AB = √[(s − 0)² + (0 − s)²] = s√2,
BC = s√2,
CA = s√2.
Яғни, базадағы үшбұрыш тең қабырғалы және оның қабырғаларының ұзындығы s√2 болады.
Базаның ауданы тең қабырғалы үшбұрыштың ауданы формуласы бойынша:
Area_base = (a²√3)/4,
мұндағы a = s√2.
Осылайша,
Area_base = ((s√2)²√3)⁄4 = (2s²√3)/4 = (s²√3)/2.
Мәсеlede базаның ауданы 15 берілген, сондықтан:
(s²√3)/2 = 15
→ s²√3 = 30
→ s² = 30/√3 = (30√3)/3 = 10√3.
Енді бүйір беттердің ауданын табу керек. Әрбір бүйір бет – төбеден екі базалық төбелерге созылған треугольник. Мысалы, OAB үшбұрышы. Берілген шарт бойынша OA мен OB перпендикуляр, сондықтан OAB тік бұрышты үшбұрыш болады және оның ауданы:
Area_OAB = ½·OA·OB = ½·s² = ½·(10√3) = 5√3.
Пирамидада үш бүйір бет болғандықтан, жалпы бүйір беттердің ауданы:
Total_Lateral_Area = 3 * 5√3 = 15√3.
Сонда дұрыс үшбұрышты пирамидада базаның ауданы 15 берілген жағдайда бүйір беттердің ауданы 15√3 болады.