Бірлік шеңберге сырттай сызылған квадрат үшін шеңбер нүктесінен квадрат төбелеріне дейінгі қашықтықтар квадраттарының қосындысын табыңыз.
Бірлік шеңберге сырттай сызылған квадрат үшін шеңбер нүктесінен квадрат төбелеріне дейінгі қашықтықтар квадраттарының қосындысын табыңыз.
Итак, нам нужно найти сумму квадратов расстояний от произвольной точки на единичной окружности до вершин квадрата, который проведён вокруг этой окружности (т.е. квадрат, описанный вокруг окружности). Квадрат, описанный вокруг окружности, имеет стороны, касающиеся окружности. При единичной окружности координаты точек касания – середины сторон, а вершины квадрата будут иметь координаты (1,1), (–1,1), (–1,–1) и (1,–1).
Пусть точка P на окружности имеет координаты (cosθ, sinθ). Расстояние от этой точки до вершины, например, (1,1) равно
D₁² = (cosθ – 1)² + (sinθ – 1)².
Аналогично вычисляются квадраты расстояний и для остальных вершин.
Чтобы найти сумму квадратов расстояний до всех четырёх вершин, запишем общую формулу:
S = Σ[(cosθ – xᵢ)² + (sinθ – yᵢ)²]
= Σ(xᵢ² + yᵢ²) + 4(cos²θ + sin²θ) – 2cosθ Σxᵢ – 2sinθ Σyᵢ.
Для данного квадрата координаты вершин:
(1,1), (–1,1), (–1,–1), (1,–1).
Вычисляем необходимые суммы:
Σxᵢ = 1 + (–1) + (–1) + 1 = 0,
Σyᵢ = 1 + 1 + (–1) + (–1) = 0,
Σ(xᵢ² + yᵢ²) для каждой вершины: 1² + 1² = 2, всего 4*2 = 8,
cos²θ + sin²θ = 1.
Подставляем:
S = 8 + 4·1 – 0 – 0 = 12.
Таким образом, сумма квадратов расстояний от любой точки на единичной окружности до вершин квадрата, описанного вокруг неё, равна 12.
Мәселе: Бірлік шеңберге сырттай сызылған квадраттың төбелерімен шеңбер нүктесі арасындағы қашықтықтардың квадраттарының қосындысын табу.
Алдымен, квадраттың төбелерінің координаталарын анықтайық. Бірлік шеңберді ішіне алған квадраттың шетіндегі нүктелер (төрешіктер) – (1, 1), (1, –1), (–1, 1) және (–1, –1) болады. Себебі, шеңбер радиусы 1 болғандықтан, квадраттың ішінде шеңбердің жанынан жуықтап қанат тию үшін, квадраттың ортасы (0, 0) болып жалпы алғанда, шеңбердің жанында орналасады.
Шеңбердің кез келген нүктесін ( P(\cos\theta,, \sin\theta) ) деп белгілейік.
Әр төбеге дейінгі қашықтықтың квадратын есептейміз:
• ( A(1,1) ) төбесіне: ((\cos\theta - 1)^2 + (\sin\theta - 1)^2)
• ( B(1,-1) ) төбесіне: ((\cos\theta - 1)^2 + (\sin\theta + 1)^2)
• ( C(-1,1) ) төбесіне: ((\cos\theta + 1)^2 + (\sin\theta - 1)^2)
• ( D(-1,-1) ) төбесіне: ((\cos\theta + 1)^2 + (\sin\theta + 1)^2)
Келесі қадам – осы төрт өрнекті қосу.
Әрбір өрнекте (\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1) екенін ескерсек:
Мысалы, ( A ) төбесіне:
[
(\cos\theta - 1)^2 + (\sin\theta - 1)^2 = \cos^2\theta - 2\cos\theta + 1 + \sin^2\theta - 2\sin\theta + 1 = (\cos^2\theta + \sin^2\theta) - 2(\cos\theta+\sin\theta) + 2 = 1 - 2(\cos\theta+\sin\theta) + 2.
]
Яғни, әрбір өрнек жалпы құрылымы (3 - 2(\pm\cos\theta \pm \sin\theta)) болады.
Толық қосынды:
[
S = [3 - 2(\cos\theta+\sin\theta)] + [3 - 2(\cos\theta-\sin\theta)] + [3 - 2(-\cos\theta+\sin\theta)] + [3 - 2(-\cos\theta-\sin\theta)].
]
Қосындылардағы (\cos\theta) мен (\sin\theta) коэффициенттері бір-бірін жояды:
• (\cos\theta) бойынша: ( -2[\cos\theta+\cos\theta -\cos\theta -\cos\theta] = -2\cdot0 = 0 ).
• (\sin\theta) бойынша: ( -2[\sin\theta-\sin\theta+\sin\theta-\sin\theta] = -2\cdot0 = 0 ).
Жалпы қалдық:
[
S = 3+3+3+3 = 12.
]
Нәтижесінде, шеңбердің кез келген нүктесінен квадрат төбелеріне дейінгі қашықтықтар квадраттарының қосындысы әрқашан 12-ге тең.
Демек, дұрыс жауап: 12.