Бүйір қыры 1-ге тең дұрыс төртбұрышты пирамида көлемінің ең үлкен мәнін табыңыз.
Бүйір қыры 1-ге тең дұрыс төртбұрышты пирамида көлемінің ең үлкен мәнін табыңыз.
Задача сводится к нахождению максимального объёма правильной (правильной квадратной) пирамиды, если известно, что боковое ребро (ребро, соединяющее вершину пирамиды с вершиной основания) равно 1.
В правильной квадратной пирамиде обозначим:
– сторону квадрата основания за a;
– высоту пирамиды за h;
– боковое ребро равно 1.
Из геометрии знаем, что расстояние от центра основания до одной из его вершин равно a√2/2. По теореме Пифагора для треугольника, образованного высотой пирамиды, расстоянием от центра основания до вершины и боковым ребром, получаем:
h² + (a√2/2)² = 1²
h² + a²/2 = 1
h = √(1 – a²/2).
Объём пирамиды равен:
V = (1/3)·a²·h = (1/3)·a²·√(1 – a²/2).
Найдем значение a, при котором объём максимален. Для этого можно рассмотреть V как функцию от a:
V(a) = (a²/3)·√(1 – a²/2),
где допустимые значения a удовлетворяют условию 1 – a²/2 ≥ 0, то есть 0 ≤ a ≤ √2.
Чтобы найти максимум, удобно ввести замену t = a². Тогда имеем:
V(t) = (t/3)·√(1 – t/2), при t ∈ [0, 2].
Найдём производную V’(t):
V(t) = (t/3)·(1 – t/2)^(1/2).
Продифференцируем по t:
V’(t) = 1/3·(1 – t/2)^(1/2) + (t/3)·[½·(1 – t/2)^(–1/2)]·(–1/2).
Упростим:
V’(t) = (1/3)·(1 – t/2)^(1/2) – (t)/(12)·(1 – t/2)^(–1/2).
Приравняем производную к нулю:
(1/3)·(1 – t/2)^(1/2) – (t)/(12)·(1 – t/2)^(–1/2) = 0.
Умножим на 12·(1–t/2)^(1/2):
4·(1 – t/2) – t = 0 ⇒ 4 – 2t – t = 0 ⇒ 4 – 3t = 0,
откуда t = 4/3.
Вернёмся к переменной a:
a² = 4/3 ⇒ a = 2/√3.
Теперь найдём h:
h = √(1 – a²/2) = √(1 – (4/3)/2) = √(1 – 4/6) = √(1 – 2/3) = √(1/3) = 1/√3.
Подставляем в формулу объёма:
V_max = (1/3)·a²·h = (1/3)·(4/3)·(1/√3) = 4/(9√3).
Таким образом, максимальный объём пирамиды равен 4/(9√3).
Сіз дұрыс төртбұрышты пирамида туралы сұрақ қойдыңыз, мұнда бүйір қыры (пірамиданың төбеден негіз шетіне дейінгі қабырғасы) 1-ге тең болып, оның көлемінің ең үлкен мәнін табу керек.
Мәселені шешу үшін алдымен пирамида геометриясын қарастырайық. Дұрыс төртбұрышты пирамидада төбесі негіздің ортасынан тік орналасады. Негіз квадрат болғандықтан, оның бір жағындағы шеңбершікті шеңберде негіздің бұрышына дейінгі қашықтық – ( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} ) болады (мұндағы ( a ) – квадраттың қабырғасының ұзындығы). Пирамиданың биіктігі ( h ) деп алсақ, тік бұрышты үшбұрышта Пифагор теоремасына сәйкес:
[
1^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}
]
Осыдан
[
h^2 = 1 - \frac{a^2}{2}, \quad h = \sqrt{1 - \frac{a^2}{2}}
]
Пирамиданың көлемі мына формуламен есептеледі:
[
V = \frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}a^2\sqrt{1 - \frac{a^2}{2}}
]
Енді осы көлемді ( a ) бойынша максималдау керек. Функцияны максималды ету үшін оның туындысын алып, нөлге теңеу қажет.
Біз:
[
f(a) = a^2 \sqrt{1 - \frac{a^2}{2}}
]
тап аламыз. Туындысын есептеу кезінде:
[
f’(a) = 2a\sqrt{1 - \frac{a^2}{2}} + a^2\cdot\frac{1}{2}\left(1 - \frac{a^2}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(-a\right)
]
[
= 2a\sqrt{1 - \frac{a^2}{2}} - \frac{a^3}{2}\left(1 - \frac{a^2}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}
]
Теңдеуді нөлге тең қойсақ, ( a>0 ) шартын ескере отырып, екі жақтағы ортақ мүше ( a\left(1 - \frac{a^2}{2}\right)^{-\frac{1}{2}} ) қысқартады:
[
2\left(1 - \frac{a^2}{2}\right) = \frac{a^2}{2}
]
Multiplying both sides by 2:
[
4\left(1 - \frac{a^2}{2}\right) = a^2
]
[
4 - 2a^2 = a^2 \quad\Longrightarrow\quad 4 = 3a^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = \frac{4}{3}
]
Осыдан
[
a = \frac{2}{\sqrt{3}}
]
Енді биіктікті табамыз:
[
h = \sqrt{1 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{1 - \frac{\frac{4}{3}}{2}} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
]
Максималды көлем:
[
V_{\text{max}} = \frac{1}{3},a^2h = \frac{1}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{9\sqrt{3}}
]
Нақтылау үшін көбейтіп:
[
\frac{4}{9\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{9\cdot 3} = \frac{4\sqrt{3}}{27}
]
Демек, бүйір қыры 1-ге тең дұрыс төртбұрышты пирамида көлемінің ең үлкен мәні — (\frac{4\sqrt{3}}{27}).