АВСD трапециясының ВС және AD – табандары BC:AD=3:4. Трапеция ауданы 70 см². АВС үшбұрышының ауданын табыңыз.
АВСD трапециясының ВС және AD – табандары BC:AD=3:4. Трапеция ауданы 70 см². АВС үшбұрышының ауданын табыңыз.
Мәліметті былай түсіндіруге болады: берілген АВСD трапециясында параллель табаналар BC және AD, олардың қатынасы 3:4, яғни BC:AD = 3:4. Ең маңызды қасиет – трапецияның диагоналі (AC) трапецияны екі үшбұрышқа бөледі: үшбұрыш ABC және үшбұрыш ADC. Бұл үшбұрыштардың аудандары параллель табаналардың ұзындықтарына пропорционал болады. Яғни:
[ABC] ⁄ [ADC] = BC ⁄ AD = 3 ⁄ 4.
Жалпы трапецияның ауданы 70 см² болғандықтан, триқұрылымды түрде:
[ABC] + [ADC] = 70 см².
Бізге үшбұрыш ABC ауданы керек. Оны табу үшін пропорцияны қолданамыз. Егер [ABC] = 3k, ал [ADC] = 4k деп алсақ, онда:
3k + 4k = 70, яғни 7k = 70.
Осыдан k = 10 болады. Сонымен:
[ABC] = 3k = 3 × 10 = 30 см².
Сонымен, АВС үшбұрышының ауданы 30 см².
Мы имеем трапецию ABCD, у которой основания – отрезки BC и AD, а их длины связаны соотношением 3:4, то есть можно принять BC = 3k и AD = 4k. Площадь трапеции равна 70 см².
Если провести диагональ AC, то трапеция поделится на два треугольника: △ABC и △ADC. В трапеции с параллельными сторонами существует полезное свойство: диагональ делит её на два треугольника, площади которых относятся как длины оснований, прилежащих к этим треугольникам. В нашем случае отношение площадей △ABC:△ADC равно BC:AD = 3:4.
Обозначим площадь △ABC = 3x, а площадь △ADC = 4x. Тогда площадь трапеции равна сумме площадей этих двух треугольников:
3x + 4x = 7x = 70 см².
Отсюда находим x = 10 см².
Таким образом, площадь треугольника ABC равна:
3x = 3·10 = 30 см².
Ответ: 30 см².