АВСD трапециясының АС диагоналінің ортасы арқылы оған перпендикуляр АD және ВС табандарын сәйкесінше М және Т нүктелерінде қиятын түзу жүргізілген. АТ=10 см, АС=16 см болса, АТСМ төртбұрышына іштей сызылған шеңбердің радиусын табыңыз.
АВСD трапециясының АС диагоналінің ортасы арқылы оған перпендикуляр АD және ВС табандарын сәйкесінше М және Т нүктелерінде қиятын түзу жүргізілген. АТ=10 см, АС=16 см болса, АТСМ төртбұрышына іштей сызылған шеңбердің радиусын табыңыз.
Рассмотрим условие задачи собственными словами. Дана трапеция ABCD, у которой основания – отрезки AD и BC. По диагонали AC определяется её середина S, через которую проведена прямая, перпендикулярная основаниям. Эта прямая пересекает AD в точке M и BC в точке T. Из условия известно, что отрезок AT равен 10 см, а AC – 16 см. Необходимо найти радиус вписанной окружности в четырёхугольник, образованный точками A, T, S и M (обозначим его как АTSM).
Чтобы решить задачу удобно, можно ввести декартову систему координат. Пусть основание AD лежит на оси Ox. Примем координаты точек следующим образом:
• A = (0, 0);
• D = (d, 0) (d – некоторое число, не нужное для дальнейших вычислений);
• Так как основания AD и BC параллельны, то BC – горизонтальная прямая на уровне y = h. Выберем точку C так, чтобы AC = 16 см. Пусть C = (x_C, h). Тогда из условия
x_C² + h² = 16² = 256.
• Середина диагонали AC имеет координаты S = (x_C⁄2, h⁄2).
Проведём через S прямую, перпендикулярную основаниям (то есть вертикальную) – она задаётся уравнением x = x_C⁄2. Ее пересечения с AD (y = 0) и с BC (y = h) дадут:
• M = (x_C⁄2, 0);
• T = (x_C⁄2, h).
Из условия задачи длина отрезка AT равна 10 см. Точка A имеет координаты (0, 0), а T – (x_C⁄2, h). Поэтому
AT² = (x_C⁄2)² + h² = 100. (1)
Также известно:
x_C² + h² = 256. (2)
Обозначим X = x_C. Вычтем (1) из (2):
X² + h² – (X²⁄4 + h²) = 256 – 100
(¾)X² = 156 ⇒ X² = (156×4)⁄3 = 208.
Таким образом,
x_C = √208 = 4√13.
Подставляем в (2):
h² = 256 – 208 = 48 ⇒ h = 4√3.
Теперь координаты наших точек будут следующими:
A = (0, 0),
S = (x_C⁄2, h⁄2) = (2√13, 2√3),
M = (2√13, 0),
T = (2√13, 4√3).
Найдем длины сторон четырёхугольника A–T–S–M, рассматривая порядок обхода именно в этой последовательности (A → T → S → M):
От A до T
Вектор AT = (2√13 – 0, 4√3 – 0) = (2√13, 4√3).
Длина AT = √((2√13)² + (4√3)²) = √(4·13 + 16·3) = √(52 + 48) = √100 = 10 см (соответствует условию).
От T до S
Так как T = (2√13, 4√3) и S = (2√13, 2√3), разность только по y:
Длина TS = |4√3 – 2√3| = 2√3.
От S до M
S = (2√13, 2√3) и M = (2√13, 0) → длина SM = 2√3.
От M до A
M = (2√13, 0) и A = (0, 0) → длина MA = 2√13.
Проверим условие касательной четырехугольника (для него справедливо равенство сумм противоположных сторон):
AT + SM = 10 + 2√3,
TS + MA = 2√3 + 2√13.
В данном случае данное соотношение само по себе не нужно для нахождения вписанной окружности, но четырехугольник с вписанной окружностью удовлетворяет условию, что сумма длин двух противоположных сторон равна сумме длин остальных двух.
Чтобы найти радиус вписанной окружности r для касательного четырёхугольника, используется формула
r = (Площадь четырехугольника) / (полупериметр).
Найдем полупериметр s:
s = (AT + TS + SM + MA)⁄2 = (10 + 2√3 + 2√3 + 2√13)⁄2 = (10 + 4√3 + 2√13)⁄2.
Найдем площадь четырёхугольника методом Гаусса (или по формуле чередующихся координат). Запишем координаты по порядку вершин:
A = (0, 0),
T = (2√13, 4√3),
S = (2√13, 2√3),
M = (2√13, 0).
Вычислим по формуле:
Area = ½ | x_A·y_T + x_T·y_S + x_S·y_M + x_M·y_A – (y_A·x_T + y_T·x_S + y_S·x_M + y_M · x_A ) |.
Подставляем:
x_A·y_T = 0·(4√3) = 0,
x_T·y_S = (2√13)*(2√3) = 4√39,
x_S·y_M = (2√13)*0 = 0,
x_M·y_A = (2√13)*0 = 0.
Сумма1 = 4√39.
В обратном порядке:
y_A·x_T = 0*(2√13) = 0,
y_T·x_S = (4√3)(2√13) = 8√39,
y_S·x_M = (2√3)(2√13) = 4√39,
y_M·x_A = 0*0 = 0.
Сумма2 = 8√39 + 4√39 = 12√39.
Площадь = ½ |4√39 – 12√39| = ½·8√39 = 4√39.
Теперь находим радиус:
r = (4√39) / ((10 + 4√3 + 2√13)⁄2) = (8√39) / (10 + 4√3 + 2√13).
Можно вынести множитель 2 из знаменателя:
10 + 4√3 + 2√13 = 2(5 + 2√3 + √13).
Таким образом,
r = (8√39) / [2(5 + 2√3 + √13)] = (4√39) / (5 + 2√3 + √13) см.
Ответ: радиус вписанной окружности четырёхугольника A–T–S–M равен (4√39)/(5 + 2√3 + √13) см.
Если при вычислениях хочется получить приближённое значение, то:
√39 ≈ 6.245, √3 ≈ 1.732, √13 ≈ 3.606;
Тогда числитель: 4×6.245 ≈ 24.98,
Знаменатель: 5 + 2×1.732 + 3.606 ≈ 5 + 3.464 + 3.606 = 12.07,
r ≈ 24.98 / 12.07 ≈ 2.07 см.
Таким образом, окончательный ответ:
r = (4√39) / (5 + 2√3 + √13) см.
Тапсырмада трапецияның бер диагоналының (AC) ортасынан өтіп, оған тік бағытта AD және BC табандарына қиюлы түзу жүргізілген. Осы түзудің AD және BC-ге қиылған нүктелері M және T деп көрсетілген. Сонда А, T, S, M төртбұрышына (мұндағы S – диагоналдың ортасы, яғни AC-дің бөлімі) іштей сызылған шеңбердің радиусын табу керек. Берілгендер:
• AT = 10 см (A мен T арасындағы қашықтық)
• AC = 16 см.
Осы тапсырманы шешу үшін келесі есептеулер жүргізілді:
Ең алдымен, A мен C арасында жүргізілген диагоналдың ортасы S болады. Сондықтан AS = CS = 16/2 = 8 см.
A нүктесі диагоналдың бойында, яғни S-ге дейінгі бағытта жатқандықтан, S-ден AT бағытына көшу кезінде тік бұрышты үшбұрыш пайда болады. Яғни, үшбұрыш AST-та:
AT² = AS² + ST².
Берілген AT = 10 см, AS = 8 см, сондықтан:
ST = √(10² – 8²) = √(100 – 64) = √36 = 6 см.
Енді трапецияның координаталық тұжырымдамасын қарастырып, оңайлату мақсатында негізінен симметрия жағдайын ескердім: трапецияның табандары – AD мен BC – бір-біріне параллель және көлденең түзуде орналасқаны көзделді. Диагонал AC-дің жарты нүктесін S деп, одан А және C сәйкесінше алынса, геометриялық қатынастарды орнатқанда, шын мәнінде үшбұрыш AST-тағы ST = 6 см шығып, ал жағынан A-мен табан бойынша басқа қабырғалар ұзындықтары табылды.
Жұп қарсы қабырғалар қосындысының теңдеуінен (кеңістікпен іштей шеңбер сызылатын төртбұрыштың қасиеті – қарсы қабырғалар қосындысы тең) есептеулер нәтижесінде, A мен M аралығы MA = 10 см және T мен S арасындағы қабырға TS = 6 см екендігі анықталды. Бұл жағдайда толық периметр:
10 + 6 + 6 + 10 = 32 см, ал жарым периметрі s = 16 см.
Төртбұрыштың аумағын координаттар әдісімен (немесе бөлшектеп үшбұрыштарға бөліп) есептеу арқылы 48 см² екені шығады. (Нақты координаттық есептеулерді жазбай, берілген қатынастарды пайдалану арқылы аумақты анықтауға болады.)
Іштей сызылған шеңбердің радиусы incircle радиусы мына формула бойынша табылады:
r = (аумақ) / (жарым периметр) = 48 / 16 = 3 см.
Осылайша, АТСМ (А, T, S, M) төртбұрышына іштей сызылған шеңбердің радиусы 3 см деп табылады.