АВСD параллелограмының ауданы 8, ВС және СD қабырғаларының орталары – сәйкесінше К және М нүктелері. АКМ үшбұрышының ауданын табыңыз.
АВСD параллелограмының ауданы 8, ВС және СD қабырғаларының орталары – сәйкесінше К және М нүктелері. АКМ үшбұрышының ауданын табыңыз.
Бізден АВСD параллелограмының ауданы 8 екені берілген, оның ішінде BC және CD қабырғаларының орталары – сәйкесінше К және М нүктелері. Сонымен, АКМ үшбұрышының ауданын табу керек.
Мысал шешімі:
• АВСD параллелограмын координаттық жазықтықта орналастырайық. Шарт бойынша:
A = (0, 0);
B = (b, 0);
D = (0, d);
онда C = B + D = (b, d). Параллелограм ауданы b · d = 8.
• Нүктелерді анықтаймыз:
К – BC қабырғасының орталығы, яғни B = (b, 0) және C = (b, d) нүктелерінің ортасы: К = (b, d/2).
М – CD қабырғасының орталығы, яғни C = (b, d) және D = (0, d) нүктелерінің ортасы: М = (b/2, d).
• Енді АКМ үшбұрышының ауданын табу үшін A, К, М нүктелерінің координаталарын қолданамыз:
A = (0, 0), К = (b, d/2), М = (b/2, d).
Үшбұрыштың ауданы келесі формула бойынша есептеледі:
S = ½ |det(К - A, М - A)|,
мұндағы детерминант:
det =
| b d/2 |
| b/2 d | = b·d - (d/2)·(b/2) = b·d - (b·d)/4 = (3b·d)/4.
Сонда S = ½·((3b·d)/4) = (3b·d)/8.
Ескеру керек: параллелограмның ауданы b·d = 8 болғандықтан,
S = (3 × 8)/8 = 3.
Нәтижесінде АКМ үшбұрышының ауданы – 3.
Қорытындылай келе, дұрыс жауап: АКМ үшбұрышының ауданы 3.
Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью 8, где K – середина стороны BC, а M – середина стороны CD. Нужно найти площадь треугольника AKM.
Для удобства введем векторное обозначение. Пусть векторы AB = u и AD = v. Тогда:
A = (0, 0),
B = u,
D = v,
C = B + v = u + v.
Поскольку K — середина BC, то:
K = B + ½·(v) = u + ½v.
А M — середина CD, а точки C и D имеют координаты u + v и v соответственно, поэтому:
M = (C + D)/2 = (u + v + v)/2 = ½u + v.
Площадь параллелограмма определяется как модуль векторного произведения u и v:
|u × v| = 8.
Теперь найдем площадь треугольника AKM. Если A = (0, 0), K = u + ½v, а M = ½u + v, то площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов AK и AM:
S₍AKM₎ = ½ · |(u + ½v) × (½u + v)|.
Выполним умножение:
(u + ½v) × (½u + v) = u × (½u) + u × v + ½v × (½u) + ½v × v.
Заметим, что векторное произведение любого вектора самого на себя равно нулю: u × u = 0, v × v = 0.
Таким образом:
= 0 + u × v + (1/4)(v × u) + 0.
Но v × u = – (u × v), значит:
= u × v – ¼ (u × v) = (¾)(u × v).
Таким образом, модуль равен |(¾)(u × v)| = ¾ · |u × v| = ¾ · 8 = 6.
Теперь площадь треугольника:
S₍AKM₎ = ½ · 6 = 3.
Таким образом, площадь треугольника AKM равна 3.