АВСD параллелограмында АВ=20 см. Параллелограмм жазықтығынан тыс М нүктесінен АВС жазықтығына ВМ перпендикуляр. МА және АВС жазықтығы арасындағы бұрыш 60^\circ болса, М нүктесінен АВС жазықтығына дейін қашықтықты табыңыз.
АВСD параллелограмында АВ=20 см. Параллелограмм жазықтығынан тыс М нүктесінен АВС жазықтығына ВМ перпендикуляр. МА және АВС жазықтығы арасындағы бұрыш 60^\circ болса, М нүктесінен АВС жазықтығына дейін қашықтықты табыңыз.
В задаче дан параллелограмм ABCD с известной стороной AB = 20 см. Из точки M (расположенной вне плоскости параллелограмма) проведён перпендикуляр BM к плоскости, где находится параллелограмм ABCD. При этом угол между MA и плоскостью равен 60°. Нужно найти расстояние от точки M до плоскости, то есть длину перпендикуляра BM.
Представим ситуацию так: поскольку BM перпендикулярен плоскости, его основанием является точка B, которая принадлежит плоскости. Точка A также принадлежит плоскости, а значит отрезок AB лежит в плоскости. При этом проекция отрезка MA на плоскость – это отрезок AB. Так как угол между MA и плоскостью равен 60°, то компонента MA, принадлежащая плоскости (его горизонтальная компонента), равна MA·cos 60°. Но эта проекция совпадает с отрезком AB, то есть
MA·cos 60° = AB = 20 см.
Зная, что cos 60° = 0.5, находим длину отрезка MA:
MA = 20/0.5 = 40 см.
Расстояние от точки M до плоскости – это вертикальная составляющая отрезка MA, которая равна MA·sin 60°. При sin 60° = (√3)/2 получаем:
BM = MA·sin 60° = 40·(√3/2) = 20√3 см.
Таким образом, искомое расстояние от точки M до плоскости ABC равно 20√3 см.
Мәселе бойынша параллелограммның жазықтығынан тыс орналасқан M нүктесінен ABC жазықтығына бағытталған BM перпендикуляры көрсетілген. Сонымен қатар, MA тізбегі жазықтықпен 60° бұрыш түзеді, және параллелограмның бір қабыртағы (AB) 20 см-ге тең.
Мысалда A нүктесі MA тізбегінің жазықтықпен қиылысу нүктесі ретінде таңдалған. Осылайша, ABC жазықтығында орналасқан AB тізбегін жазықтықтағы сызық ретінде аламыз және MAB үшбұрышының бір бұрышы (∠MAB) 60° болады. Сонымен қатар, M нүктесінен жазықтыққа түсірілген BM перпендикуляры жазықтыққа тік, сондықтан AB мен BM арасындағы бұрыш 90° болады. Яғни, MAB үшбұрышы тура бұрышты (90°) және оның бір бұрышы 60° болғандықтан, қалған бұрышы 30° болады.
Осы үшбұрышта:
• ∠B = 90°
• ∠A = 60°
• AB = 20 см
∠A-ға қарағанда қарсы жақтағы BM қабатын табуға болады. Тура бұрышты үшбұрыштағы сәйкес бұрыштың тангенсін қолдансақ:
[
\tan(60^\circ)=\frac{BM}{AB}
]
Біз білеміз, (\tan(60^\circ)=\sqrt{3}), сондықтан:
[
BM = AB \cdot \tan(60^\circ) = 20 \cdot \sqrt{3} , \text{см}
]
Яғни, M нүктесінен ABC жазықтығына дейінгі қашықтық (20\sqrt{3}) см.
Бұл жерде қолданылған негізгі ұғым: үшбұрыштағы бұрыштың тангенс қатынасы және перпендикулярдың жазықтықтағы қасиеті. Осы түсініктемеге сәйкес, дұрыс жауап (20\sqrt{3}) см.