АВСD квадратында диагональдарының қиылысу нүктесі арқылы АВ, ВС, СD және АD қабырғаларын сәйкес Р, К, Н, Т нүктелерінде қиятын екі өзара перпендикуляр түзулер жүргізілген. ВС=a, \angle ТКС = \alpha болса, РКНТ ауданын табыңыз.
АВСD квадратында диагональдарының қиылысу нүктесі арқылы АВ, ВС, СD және АD қабырғаларын сәйкес Р, К, Н, Т нүктелерінде қиятын екі өзара перпендикуляр түзулер жүргізілген. ВС=a, \angle ТКС = \alpha болса, РКНТ ауданын табыңыз.
Квадраттың ішінде диагоналдарының қиылысу нүктесі (орталық) арқылы екі өзара перпендикуляр түзулер жүргізілген. Бұл түзулер квадраттың қабырғаларымен қиылысып, тиісінше АВ, ВС, СD және АD қабырғаларында Р, К, Н, Т нүктелерін белгілейді. Содан кейін, ТКС бұрышының (К нүктесінде, оның бір шығысы – түзудің бағыты, екіншісі – қабырғаға параллель бағыт) α бұрышы болғаны берілген.
Бізде:
• Квадраттың қабырғасының ұзындығы a (ВС = a болғандықтан квадраттың қабырғасы a болады).
• Екі түзудің біреуі ТКмен (Р–Н бойымен жүретін), екіншісі – О арқылы өтетін, бірақ бір-біріне перпендикуляр (О – диагоналдардың қиылысу нүктесі).
Біз координаталық жүйеде квадратты былай орналастырайық:
• O(0, 0) – квадраттың орталығы.
• A = (–a/2, a/2), B = (a/2, a/2), C = (a/2, –a/2), D = (–a/2, –a/2).
Түзулерді былай таңдаймыз:
• Бірінші түзуді (тікелей К мен Т арқылы өтетін) L₁ деп белгілейік. Ол O-ден өтеді және К – BC қабырғасында, ал Т – AD қабырғасында орналасады.
• Екінші түзуді L₂ деп белгілейік. Ол да O-ден өтеді, бірақ L₁-ге перпендикуляр, және оның қиылысатын нүктелері Р (AB қабырғасында) және Н (CD қабырғасында) болады.
Енді, бұрышты қарастырайық:
• ТКС бұрышы – К нүктесінде, онда бір шынтығы L₁ (К–Т бағыты), ал екінші шынтығы – BC қабырғасына (K-дан C-ге, ал C квадраттың шаршы бұрышы).
• Қабырғаның бағыты тік (вертикаль), ал L₁ бұрышы горизонтпен θ бұрыш жасап, сондықтан қабырға мен түзудің арасындағы бұрыш π/2 – θ болады.
• Яғни, α = π/2 – θ, демек θ = π/2 – α.
• L₁-дің көлденеңінен толқындық коэффициенті m = tan θ = tan(π/2 – α) = cot α.
Осылайша, L₁ бұрышы анықталады. Енді L₁ бойымен орналасқан нүктелерді табамыз:
• К — BC қабырғасындағы нүкте. BC қабырғасы x = a/2, сондықтан К = (a/2, y_K). L₁ O(0, 0) арқылы өтетіндіктен, оның теңдеуі y = m x, яғни y = cot α · x. Осыған сәйкес y_K = cot α · (a/2) = a cot α/2.
• Т — AD қабырғасында (x = –a/2). O-ден өтетіндіктен, нүкте Т = (–a/2, y_T) және y_T = cot α · (–a/2) = –a cot α/2.
Енді L₂ түзусын қарастырайық:
• L₂, L₁-ге перпендикуляр, сондықтан оның көлденеңінен коэффициенті m₂ = –1/m = –tan α.
• Бұл түзудің теңдеуі y = –tan α · x (O арқылы өтеді).
• Р — AB қабырғасында: AB қабырғасы y = a/2. Теңдеуден: a/2 = –tan α · x, яғни x = –a/(2tan α). Сондықтан Р = (–a/(2tan α), a/2).
• Н — CD қабырғасында: y = –a/2. Шешеміз: –a/2 = –tan α · x, яғни x = a/(2tan α). Сондықтан Н = (a/(2tan α), –a/2).
Енді алынған барлық нүктелер:
• Р = (–a/(2tan α), a/2)
• К = (a/2, a cot α/2)
• Н = (a/(2tan α), –a/2)
• Т = (–a/2, –a cot α/2)
Ескере кетейік: a/(2tan α) = a cot α/2, өйткені cot α = 1/tan α. Демек, белгілейміз:
• M = a cot α/2.
• Р = (–M, a/2)
• К = (a/2, M)
• Н = (M, –a/2)
• Т = (–a/2, –M)
Бұл шегаралық төртбұрыш симметриялы болып шығады.
Шегаралық төртбұрыштың ауданы шойылыс формуласы бойынша:
Area = ½ |Σ (x_i y_{i+1} – y_i x_{i+1})|, i = 1,…,4, ал 5-ші нүкте бірінші нүктеге тең.
Осы тізбек бойынша:
x_R = –M, y_R = a/2;
x_K = a/2, y_K = M;
x_N = M, y_N = –a/2;
x_T = –a/2, y_T = –M.
Есептейміз:
Σ₁ = (–M)(M) + (a/2)(–a/2) + (M)(–M) + (–a/2)(a/2)
= –M² – a²/4 – M² – a²/4
= –2M² – a²/2.
Σ₂ = (a/2)(a/2) + (M)(M) + (–a/2)(–a/2) + (–M)(–M)
= a²/4 + M² + a²/4 + M²
= a²/2 + 2M².
Аймақ = ½ [Σ₂ – Σ₁] = ½ [(a²/2 + 2M²) – (–2M² – a²/2)]
= ½ (a²/2 + 2M² + 2M² + a²/2)
= ½ (a² + 4M²)
= a²/2 + 2M².
Анықтаймыз M²:
M = a cot α/2 ⟹ M² = a² cot² α/4 ⟹ 2M² = a² cot² α/2.
Сондықтан, аудан:
[РКНТ] = a²/2 + a² cot² α/2 = (a²/2)(1 + cot² α).
Енді тригонометриялық шындықты қолданамыз:
1 + cot² α = csc² α.
Осылайша:
[РКНТ] = (a²/2) csc² α.
Қорытындылай келе, АВСD квадратында берілген құрылымға сәйкес РКНТ шегаралық төртбұрышының ауданы
[РКНТ] = (a² csc² α) / 2
болып табылады.
Рассмотрим квадрат ABCD со стороной, где, согласно условию, BC = a. Пусть O – точка пересечения диагоналей квадрата (то есть его центр). Через O проводят две взаимноперпендикулярные прямые, которые пересекают стороны квадрата в точках: R на стороне AB, K на стороне BC, N на стороне CD и T – на стороне AD.
Чтобы удобнее работать, можно ввести декартову систему координат. Например, положим:
A = (0, 0),
B = (a, 0),
C = (a, a),
D = (0, a).
Центр квадрата O = (a/2, a/2).
Пусть одна из прямых, назовём её ℓ1, проходит через O и пересекает стороны AB и CD (точки R и N), а другая прямая ℓ2 – перпендикулярная ℓ1, проходит через O и пересекает стороны BC и AD (точки K и T).
Мы задаём ℓ2 через ее пересечение с BC. Так как K лежит на BC, её координаты имеют вид K = (a, y), где 0 < y < a. Поскольку ℓ2 проходит через O = (a/2, a/2), её наклон будет
m₂ = (y – a/2)/(a – a/2) = (y – a/2)/(a/2) = 2y/a – 1.
Определим точку T – пересечение ℓ2 с линией AD, где x = 0. Запишем уравнение ℓ2 в точечной форме:
y – a/2 = m₂ (x – a/2).
При x = 0 получим:
T_y – a/2 = m₂ (–a/2) ⇒ T_y = a/2 – (a/2)·m₂.
Подставив m₂, получим:
T_y = a/2 – (a/2)·(2y/a – 1) = a/2 [1 – (2y/a – 1)] = a/2 [2 – 2y/a] = a – y.
Таким образом, T = (0, a – y).
В свою очередь, рассмотрим угол ∠TKC. Он определяется в точке K с одной стороной – от K к T и другой – от K к C. Координаты:
K = (a, y),
C = (a, a),
T = (0, a – y).
Вектор KC = C – K = (0, a – y) – вертикальный вектор. Вектор KT = T – K = (–a, (a – y) – y) = (–a, a – 2y).
Заметим, что так как KC направлен строго по вертикали, угол между KT и вертикалью равен:
tan α = (горизонтальное расстояние)/(вертикальное расстояние) = a/|a – 2y|.
Предполагая, что выбираем такой вариант (при котором y < a/2, что допускается для острых углов α ≥ 45°), получаем:
a – 2y = a/ tan α ⇒ y = (a – a/ tan α)/2 = a(1 – cot α)/2.
Теперь найдём координаты точек пересечения ℓ1 с AB и CD. Прямая ℓ1 проходит через центр O и перпендикулярна ℓ2. Если ℓ2 имеет наклон m₂ = 2y/a – 1, то наклон ℓ1 будет:
m₁ = –1/m₂.
Подставляя y = a(1 – cot α)/2, получаем:
m₂ = 2·[a(1 – cotα)/2]/a – 1 = (1 – cotα) – 1 = –cotα,
отсюда m₁ = –1/(–cotα) = tan α.
Уравнение ℓ1 (через O) имеет вид:
y – a/2 = tanα (x – a/2).
Найдём точку R (пересечение ℓ1 с AB, где y = 0):
0 – a/2 = tanα (x_R – a/2) ⇒ x_R = a/2 – a/(2 tanα) = a(1 – cotα)/2.
Таким образом, R = (a(1 – cotα)/2, 0).
Аналогично, точка N (пересечение ℓ1 с CD, где y = a):
a – a/2 = tanα (x_N – a/2) ⇒ x_N = a/2 + a/(2 tanα) = a(1 + cotα)/2.
Получаем N = (a(1 + cotα)/2, a).
Таким образом, координаты вершин искомого четырехугольника RKNT:
R = (a(1 – cotα)/2, 0),
K = (a, a(1 – cotα)/2),
N = (a(1 + cotα)/2, a),
T = (0, a(1 + cotα)/2).
Вычислим площадь четырёхугольника методом Гаусса (формулой шнуров):
Area = ½ | Σ (x_i y_{i+1}) – Σ (y_i x_{i+1}) |,
где вершины берутся в порядке (R, K, N, T).
Вычислим по очереди:
Теперь вторая сумма:
Найдем S₁ подробнее. Сначала сложим (1 – cotα)² и (1 + cotα)²:
(1 – cotα)² = 1 – 2cotα + cot²α,
(1 + cotα)² = 1 + 2cotα + cot²α.
Их сумма = 2 + 2cot²α = 2(1 + cot²α).
Следовательно,
S₁ = a²[2(1 + cot²α)/4 + 1] = a²[(1 + cot²α)/2 + 1] = a²[(1 + cot²α + 2)/2] = a²(cot²α + 3)/2.
Теперь разность S₁ – S₂:
S₁ – S₂ = a²[(cot²α + 3)/2 – (1 – cot²α)/2] = a²[(cot²α + 3 – 1 + cot²α)/2] = a²[2cot²α + 2]/2 = a²(cot²α + 1).
Таким образом, площадь:
Area = ½ · a²(cot²α + 1) = a²(cot²α + 1)/2.
Заметим, что по известному тождеству
cot²α + 1 = csc²α,
поэтому окончательно получаем:
Area = a² csc²α/2 или Area = a²/(2 sin²α).
Итак, если сторона квадрата BC = a, а угол ∠TKC = α, то площадь четырёхугольника RKNT равна
a²/(2 sin²α).