АВСD куб қырының ұзындығы 2. АВ1 және СС1 векторларының скаляр көбейтіндісі.
АВСD куб қырының ұзындығы 2. АВ1 және СС1 векторларының скаляр көбейтіндісі.
Задача сводится к следующему: в кубе со стороной 2 нужно вычислить скалярное произведение векторов, один из которых проходит от вершины A до вершины B1 (на верхней грани), а второй – от вершины C до вершины C1 (также на верхней грани).
Предположим, что куб имеет вершины таким образом: нижняя грань – A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), а верхняя – A1(0,0,2), B1(2,0,2), C1(2,2,2), D1(0,2,2). Тогда вектор AB1 = B1 – A = (2,0,2), а вектор CC1 = C1 – C = (0,0,2).
Скалярное произведение этих двух векторов находится по формуле
a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃.
Подставляем координаты:
(2, 0, 2) · (0, 0, 2) = 2·0 + 0·0 + 2·2 = 0 + 0 + 4 = 4.
Ответ: скалярное произведение векторов AB1 и CC1 равно 4.
Мысалды қайта қарап, түсіндіріп өтейін.
Бізде берілген АВСD кубының қырының ұзындығы 2. Кубтың жазықтықтағы төменгі қабатында шеңберлік орналасу стандартты түрде келесідей болады:
• A = (0, 0, 0)
• B = (2, 0, 0)
• C = (2, 2, 0)
• D = (0, 2, 0)
Кубтың жоғарғы қабатындағы сополярлы нүктелер:
• A₁ = (0, 0, 2)
• B₁ = (2, 0, 2)
• C₁ = (2, 2, 2)
• D₁ = (0, 2, 2)
Берілген тапсырмада екі вектор қарастырылады:
- АВ₁ векторы – бастапқы нүктесі A және соңғы нүктесі B₁.
- СС₁ векторы – бастапқы нүктесі C және соңғы нүктесі C₁.
Векторларды координаттар түрінде анықтаймыз:
• АВ₁ = B₁ − A = (2, 0, 2) − (0, 0, 0) = (2, 0, 2).
• СС₁ = C₁ − C = (2, 2, 2) − (2, 2, 0) = (0, 0, 2).
Скаляр көбейтінді (dot product) былай есептеледі:
(2, 0, 2) · (0, 0, 2) = 2×0 + 0×0 + 2×2 = 0 + 0 + 4 = 4.
Демек, АВ₁ және СС₁ векторларының скаляр көбейтіндісі – 4.
Осылайша:
Дұрыс жауап: 4.