АВС үшбұрышында АВ=АС. В төбесінен АС бүйір қабырғасына ВМ биіктігі жүргізілген. ВМ=9 см, АМ=12 см. АВС үшбұрышының ауданын табыңыз.
АВС үшбұрышында АВ=АС. В төбесінен АС бүйір қабырғасына ВМ биіктігі жүргізілген. ВМ=9 см, АМ=12 см. АВС үшбұрышының ауданын табыңыз.
В данной задаче мы имеем равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, и проведён высота BM из вершины B к стороне AC. Даны отрезки: BM = 9 см и AM = 12 см. Необходимо найти площадь треугольника ABC.
Для наглядности можно ввести координаты. Пусть точка A имеет координаты (0, 0), а сторона AC расположена по оси абсцисс. Тогда можно принять, что точка M, на которой опускается высота BM, имеет координаты (12, 0) (так как AM = 12 см). Так как BM перпендикулярна AC и равна 9 см, то точка B имеет координаты (12, 9).
Из условия AB = AC. Вычисляем длину AB:
AB = √[(12 – 0)² + (9 – 0)²] = √(144 + 81) = √225 = 15 см.
С другой стороны, сторона AC является отрезком от A = (0, 0) до произвольной точки C = (c, 0). Чтобы AB = AC, длина AC должна быть 15 см, то есть c = 15. Таким образом, C = (15, 0).
Площадь треугольника можно найти, используя сторону AC как основание и BM как высоту, опущенную на эту сторону:
S = ½ · (AC) · (BM) = ½ · 15 · 9 = 67,5 см².
Итак, площадь треугольника ABC равна 67,5 см² (или, что то же самое, 135/2 см²).
Сұрақты былай түсінеміз. Үшбұрыштың А, В, С төбелерінде орналасқаны белгілі, ал АВ = АС деп берілгендіктен, бұл үшбұрыш теңекі жақты болып табылады. Сондай-ақ, В төбесінен АС бүйір қабырғасына перпендикулярлап ВМ биіктігі түсірілгені және оның ұзындығы 9 см, сонымен қатар АМ = 12 см деп берілген. Біздің мақсат – үшбұрыштың ауданын табу.
Алдымен, АВ = АС екені берілген, сондықтан А төбесінде орналасқан қабырғалардың ұзындығы бірдей – яғни, АС = 15 см болуы керек. Бұл қадамды қалай анықтаймыз?
• АС қабырғасына түсірілген ВМ биіктігі АМ және ВМ сәйкесінше перпендикуляр кесінділер болып табылады. Сондықтан үшбұрыш АВМ тіктөртбұрыштық болып, Пифагор теоремасын қолдануға болады:
АВ² = АМ² + ВМ² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225,
демек, АВ = √225 = 15 см.
• Аталған теңдік арқылы АС = АВ = 15 см.
Келесі қадам – үшбұрыштың ауданын табу. Біз АС қабырғасына түсірілген В төбесінен биіктіктің ұзындығы белгілі болғандықтан, аудан формуласы бойынша:
Ауданы = ½ × АС × ВМ = ½ × 15 × 9 = 67.5 см².
Қорытындылай келе, берілген шарттар негізінде АВС үшбұрышының ауданы 67,5 см² тең болады.