АВС үшбұрышында АВ=3 см, АС=5 см. К нүктесі А төбесінің биссектрисасына қарағанда В нүктесіне симметриялы болса, СК-ны табыңыз.
АВС үшбұрышында АВ=3 см, АС=5 см. К нүктесі А төбесінің биссектрисасына қарағанда В нүктесіне симметриялы болса, СК-ны табыңыз.
Бізге А ВС үшбұрышында AB = 3 см және AC = 5 см екендігі берілген. Сонымен қатар, А төбесінің биссектрисасына қатысты, B нүктесі симметриялы нүкте K анықталған және СK қашықтығын табу керек.
Осы жағдайды геометрия заңдары арқылы талдайық. Әрқашан, егер белгілі бір нүктені (осы жағдайда B‑ны) бұрыш биссектрисасы бойынша симметриялы етіп аударсақ, оның бейнесі нақты сол бұрыштың басқа қабырғасына түседі. Демек, B нүктесінің симметриялы бейнесі K нүктесі А арқылы өтетін, AB қабырғасын AC қабырғасына аударған кезде пайда болады. Симметрия нәтижесінде, АB = AK болады, яғни AK = 3 см.
Бізге AC ұзындығы 5 см берілген, сондықтан AC қабырғасындағы нүктелердің орналасуы былай болады:
• AK = 3 см
• Сондықтан, CK = AC – AK = 5 – 3 = 2 см
Осылайша, СK-ның ұзындығы 2 см деп табамыз.
Рассмотрим задачу в следующей интерпретации. В треугольнике ABC заданы AB = 3 см и AC = 5 см. Точка K получается как образ отражения точки B в биссектрисе угла A. При удобном выборе координат можно упростить ситуацию.
Предположим, что:
• Поместим точку A в начало координат: A = (0, 0).
• Ориентируем прямую AB вдоль положительного направления оси x, тогда B = (3, 0).
• Пусть биссектриса угла A проведена под углом β относительно оси x. Так как биссектриса делит угол A на две равные части, то луч AC будет образовывать с осью x угол 2β. При этом, поскольку AC = 5 см, получаем C = (5 cos 2β, 5 sin 2β).
Отражением точки B относительно прямой, проходящей через A и имеющей угол β с осью x, можно найти координаты K. Известно, что отражение точки (x, y) относительно прямой, проходящей через начало координат под углом β, даёт точку
(x cos 2β + y sin 2β, x sin 2β − y cos 2β).
Применим это к B = (3, 0):
K = (3 cos 2β, 3 sin 2β).
Обратите внимание, что и точка C, и точка K лежат на луче, исходящем из A под углом 2β. Это означает, что они направлены в одну сторону (то есть имеют одинаковые угловые координаты). Тогда расстояние между ними определяется разностью их расстояний от A. Так,
AK = 3 см и AC = 5 см.
Следовательно, длина отрезка CK равна
CK = AC – AK = 5 – 3 = 2 см.
Таким образом, несмотря на то, что угол в A может быть любым (при условии, что треугольник существует), отражение точки B относительно биссектрисы A приводит к тому, что точки K и C лежат на одном луче от A, и их расстояние определяется лишь разностью длин AC и AB.
Ответ: 2 см.