АВС үшбұрышында $ \angle C = 45^\circ $, АD биіктігі СВ қабырғасын СD=8 см, DB=6 см кесінділерге бөледі. АВС үшбұрышының ауданын табыңыз.
АВС үшбұрышында $ \angle C = 45^\circ $, АD биіктігі СВ қабырғасын СD=8 см, DB=6 см кесінділерге бөледі. АВС үшбұрышының ауданын табыңыз.
Мысал бойынша, АВС үшбұрышында ∠C = 45° екендігі, ал АD – CB қабырғасына түспейтін биіктік нүктесі D арқылы CB қабырғасын кесіп, оны CD = 8 см және DB = 6 см еселегені берілген.
Алдымен, ұшбұрыштың қабырғасы:
CB = CD + DB = 8 см + 6 см = 14 см.
Енді, АD – CB қабырғасына тік түсуі арқасында, үшбұрышты екі тік бұрышты үшбұрышқа бөліп, олардың қатарын талдаймыз. Атап айтқанда, қарайтын үшбұрыш – ADC. Бұл үшбұрышта:
• Дұрыс бұрыш – D нүктесінде;
• ∠C = 45° берілген.
Негізгі қасиет: 45°-45°-90° тік бұрышты үшбұрышта қабаттас бұрыштардың екеуінің теңдігінің нәтижесінде, қабаттас жақтар бірдей болады. Яғни, ADC үшбұрышында:
AD = DC = 8 см.
Осылайша, АD биіктігінің ұзындығы 8 см табылады.
Үшбұрыштың ауданын есептеу формуласын қолданамыз:
A = ½ × (негіз) × (биіктік) = ½ × CB × AD = ½ × 14 см × 8 см = 56 см².
Демек, АВС үшбұрышының ауданы – 56 см².
В данной задаче рассматривается треугольник ABC, в котором дан угол C равный 45°, а высота AD, опущенная из вершины A на сторону CB, делит сторону CB на отрезки: CD=8 см и DB=6 см. Требуется найти площадь треугольника ABC.
Чтобы решить задачу, удобно ввести координатную систему. Пусть точка C находится в начале координат (0,0), а точка B расположена на оси x так, чтобы отрезок CB имел длину 14 см (так как 8+6=14). Тогда можно принять B=(14,0), а точка D — основание высоты, лежащего на CB — располагается на расстоянии 8 см от точки C, то есть D=(8,0). Поскольку AD — высота, перпендикулярная CB, то точка A имеет координаты (8, h), где h — высота, которую нам предстоит найти.
Угол C в треугольнике образован вектором CA и вектором CB. Вектор CA имеет координаты (8, h), а вектор CB = (14, 0). Косинус угла между этими векторами определяется по формуле:
cos(∠C) = (CA • CB) / (|CA| · |CB|)
Вычислим скалярное произведение:
CA • CB = 8×14 + h×0 = 112
Длина вектора CA равна √(8² + h²) = √(64 + h²), а длина CB = 14. Тогда:
cos(∠C) = 112 / (14 · √(64 + h²)) = 8 / √(64 + h²)
Из условия известно, что ∠C = 45°, а cos 45° = √2/2, следовательно:
8/√(64 + h²) = √2/2
Решим относительно h:
8 * 2 = √2 · √(64 + h²)
16 = √2 · √(64 + h²)
Возведем обе части в квадрат:
256 = 2 · (64 + h²)
256 = 128 + 2h²
Вычтем 128:
128 = 2h² ⇒ h² = 64 ⇒ h = 8 см
Таким образом, высота AD равна 8 см.
Площадь треугольника находится по формуле:
S = ½ · (основание) · (высота) = ½ · 14 · 8 = 56 см²
Верный ответ – 56 см².