АВС үшбұрышында $ \angle A = \angle B = 75^\circ $. Ауданы 36 см² болса, ВС неге тең?
АВС үшбұрышында $ \angle A = \angle B = 75^\circ $. Ауданы 36 см² болса, ВС неге тең?
Рассмотрим треугольник ABC, где ∠A = ∠B = 75°, а, следовательно, ∠C = 180° – 75° – 75° = 30°. Заметим, что при равных углах A и B соответствующие противолежащие стороны (то есть сторона BC и сторона AC) равны.
Обозначим:
- a = BC (сторона, против угла A),
- b = AC (сторона, против угла B),
- c = AB (сторона, против угла C).
Так как ∠A = ∠B, имеем a = b.
Используем формулу площади через две стороны и угол между ними. Найдём площадь через стороны a и b, при этом угол между ними – ∠C = 30°:
S = ½ · a · b · sin∠C.
Так как a = b, получаем:
S = ½ · a² · sin30°.
Но sin30° = ½, значит:
S = ½ · a² · ½ = a²/4.
По условию S = 36 см², тогда:
a²/4 = 36 ⟹ a² = 144 ⟹ a = 12 см.
Таким образом, сторона BC равна 12 см.
АВС үшбұрышында бұрыштар: ∠A = ∠B = 75° болғандықтан, ∠C = 180° - 75° - 75° = 30° болады. Сонымен, бұрыштары 75°, 75° және 30° болатын үшбұрышта, бұрыштары тең ұштық бұрыштарға қарсы тұратын қабырғалар да тең болады. Яғни, ∠A мен ∠B бұрыштарына қарсы қабырғалар (ИЕ: BC және AC) тең, оны x деп белгілейік.
Осы екі тең қабырға мен олардың бұрышы ∠C (30°) арасындағы ауданға формула қолдануға болады:
S = ½ · x · x · sin(30°) = ½ · x² · ½ = x²⁄4.
Берілген аудан 36 см² болғандықтан:
x²⁄4 = 36 ⇒ x² = 144 ⇒ x = 12 (тек оң мән қабылданады).
Сөйтіп, BC қабырғасының ұзындығы 12 см-ге тең.