АВС үшбұрышында $ \angle A = 45^\circ $, ал ВD биіктігі АС қабырғасын АD=6 см, DC=8 см кесінділерге бөледі. АВС үшбұрышының ауданын табыңыз.
АВС үшбұрышында $ \angle A = 45^\circ $, ал ВD биіктігі АС қабырғасын АD=6 см, DC=8 см кесінділерге бөледі. АВС үшбұрышының ауданын табыңыз.
Задача заключается в том, чтобы по данным о разбиении стороны основания высотой и известном угле при вершине A найти площадь треугольника.
Пусть в треугольнике ABC высота BD опущена на сторону AC и делит её в точке D таким образом, что AD = 6 см, DC = 8 см, тогда AC = 14 см. Угол A равен 45° – это угол между боковой стороной AB и основанием AC.
Рассмотрим треугольник ABD, где точка D – основание высоты. В этом прямоугольном треугольнике угол A равен 45°, значит
tan(45°) = (BD)/(AD).
Так как tan(45°) = 1, получаем
1 = BD/6 ⇒ BD = 6 см.
Площадь треугольника ABC можно найти по формуле:
S = ½ · основание · высота = ½ · AC · BD.
Подставляем найденные значения:
S = ½ · 14 см · 6 см = 42 см².
Ответ: площадь треугольника равна 42 см².
Осы тапсырмада АВС үшбұрышының бір бұрышы (А бұрышы) 45° болып, BD биіктігі AC қабырғасына түсіп, оны AD = 6 см және DC = 8 см кесінділерге бөлуде. Алғашқыда, үшбұрыштың негізгі берілгендерін анықтап алайық:
• AC қабырғасын екіге бөлгенде, AD = 6 см, DC = 8 см, сондықтан AC = 6 + 8 = 14 см болады.
• BD – B төбесінен AC қабырғасына түсетін биіктік. Біздің назарымызда үшбұрыштың A бұрышы 45° екендігі бар.
Атап айтқанда, үшбұрыштың ішінде △ABD шеңберін қарастырайық. Мұнда:
– D – BD биіктігінің түйіні, яғни D нүктесінде тік бұрышы болады.
– A бұрышы 45° берілген.
– Сол себепті △ABD тіктөртбұрыштық үшбұрыш болып, бұрыштары 45°-45°-90° болады.
Мұндай үшбұрыштың қасиетіне сәйкес, қабырғалары тең: AD = BD. Ад берілгені бойынша, AD = 6 см, сондықтан BD = 6 см болады.
Үшбұрыштың ауданы анықталады:
[ABC] = ½ × негіз × биіктік = ½ × AC × BD = ½ × 14 см × 6 см = 42 см².
Осылайша, АВС үшбұрышының ауданы 42 см².