АВС үшбұрышы АВ қабырғасының ортасы М нүктесі, Р нүктесі АС қабырғасында орналасқан. АМР үшбұрышының ауданы АВС үшбұрышының ауданынан 3 есе кем болса, АР:РС қатынасын табыңыз.
АВС үшбұрышы АВ қабырғасының ортасы М нүктесі, Р нүктесі АС қабырғасында орналасқан. АМР үшбұрышының ауданы АВС үшбұрышының ауданынан 3 есе кем болса, АР:РС қатынасын табыңыз.
Сұрақты қайта атай отырып, үшбұрыштың берілген шарттарын түсінейік:
• АВС үшбұрышында АВ қабырғасының ортасы М және АС қабырғасы бойындағы нүкте – Р берілген.
• АМР үшбұрышының ауданы АВС үшбұрышының ауданынан 3 есе кем (яғни 1/3 ауданы) екені айтылған.
• Мақсат – АР:РС қатынасын табу. (Мұнда Р нүктесі АС қабырғасында орналасқандықтан, АР мен РС – АС қабырғасын бөлетін сегменттер.)
Мәселені оңайлату үшін координаттық жүйені енгізейік:
• A нүктесін (0,0) деп алайық.
• B нүктесін (2,0) деп белгілесек, онда АВ қабырғасының ортасы M = (1,0) болады.
• C нүктесін (0, h) деп белгілейік, мұнда h – үшбұрыштың биіктігі, сонда ΑС тік бойымен орналасқан.
АВС үшбұрышының ауданы:
S₍ABC₎ = ½ × АВ × биіктік = ½ × 2 × h = h.
Р нүктесі АС қабырғасында болатынын ескере отырып, оны (0, t) деп алайық, мұнда t ∈ [0, h].
АМР үшбұрышының ауданы, оның төба нүктелері A = (0,0), M = (1,0) және P (немесе Р) = (0,t) болғандықтан:
S₍AMР₎ = ½ × |детерминант( M – A, Р – A )| = ½ × |(1 * t – 0 * 0)| = ½ t.
Шарт бойынша,
½ t = 1/3 × S₍ABC₎ = 1/3 × h
осылайша t = 2h/3.
Енді, АС қабырғасы бойындағы сегменттерді анықтайық:
• АР = t = 2h/3
• РС = h – t = h – 2h/3 = h/3
Сондықтан АР:РС = (2h/3) : (h/3) = 2 : 1.
Яғни, үшбұрыштың берілген шарттарына сәйкес АР:РС қатынасы 2:1.
В этой задаче дан треугольник ABC, где точка M – середина отрезка AB, а точка Р расположена на стороне AC. Известно, что площадь треугольника АМР (то есть треугольника с вершинами A, M и Р) в три раза меньше площади всего треугольника ABC. Нужно найти отношение отрезков, на которые точка Р делит сторону AC, то есть AR:РC (при том, что в условии буква Р соответствует точке на AC).
Предположим координатное расположение для простоты вычислений. Пусть:
A = (0, 0),
B = (2, 0) (тогда M, середина AB, будет иметь координаты (1, 0)),
C = (0, c), где c > 0.
Так, точка Р располагается на отрезке AC, то есть имеет вид P = (0, t) с 0 < t < c.
Площадь треугольника ABC можно легко найти по формуле детерминанта:
[ABC] = ½ · |det(B – A, C – A)| = ½ · |det((2, 0), (0, c))| = ½ · (2·c) = c.
Площадь треугольника АМР (с вершинами A, M и Р) равна:
[AMР] = ½ · |det(M – A, P – A)| = ½ · |det((1, 0), (0, t))| = ½ · (1·t – 0·0) = t/2.
По условию площадь треугольника АМР в 3 раза меньше площади треугольника ABC, то есть:
t/2 = c/3.
Отсюда:
t = (2c)/3.
Отрезок AC имеет длину c, а точка Р делит его на две части:
AR = t = (2c)/3,
РC = AC – AR = c – (2c)/3 = c/3.
Отношение деления стороны AC, то есть AR:РC, равно:
(2c/3):(c/3) = 2:1.
Ответ: AR:PC (то есть AR:РC) = 2:1.