АВС үшбұрышы АС=ВС=10 см, \angle B = 30^\circ. ВD түзуі үшбұрыш жазықтығына перпендикуляр. ВD=5 см. D нүктесінен АС түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.
АВС үшбұрышы АС=ВС=10 см, \angle B = 30^\circ. ВD түзуі үшбұрыш жазықтығына перпендикуляр. ВD=5 см. D нүктесінен АС түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.
Задача состоит в нахождении расстояния от точки D до прямой AC в пространственной конфигурации, где треугольник ABC лежит в одной плоскости, BD – отрезок, проведённый из вершины B перпендикулярно плоскости треугольника, а D – его крайняя точка (на верхнем конце). Даны: в треугольнике ABC равные стороны AC = BC = 10 см, угол при вершине B равен 30°. Отрезок BD имеет длину 5 см. Требуется найти кратчайшее расстояние между точкой D и прямой AC.
Рассмотрим, что точка D находится над плоскостью треугольника, а её проекция на эту плоскость совпадает с точкой B (так как BD перпендикулярен плоскости). Тогда расстояние от D до прямой AC находится по правилу о расстоянии в пространстве – оно равно корню из суммы квадратов расстояния от проекции (точки B) до прямой AC и длины отрезка BD:
d(D, AC) = √[d(B, AC)² + BD²].
Остаётся найти расстояние от точки B до прямой AC в треугольнике ABC. Для этого можно воспользоваться площадью треугольника. Известно, что сторона AC = 10 см, а площадь S треугольника можно выразить как:
S = (1/2)·(AC)·h,
где h – высота, опущенная из точки B на сторону AC. Кроме того, площадь можно найти через две стороны и синус включённого угла. Но стоит пойти по другому пути – определить все стороны треугольника с помощью закона синусов.
Дело в том, что по закону синусов для треугольника:
(AC) / sin∠B = (BC) / sin∠A = (AB) / sin∠C.
Даны AC = 10 см, BC = 10 см и ∠B = 30°. Найдём ∠A. Так как стороны AC и BC равны, треугольник оказывается равнобедренным с равными углами при вершинах A и B или A и C, но поскольку равные стороны – AC и BC, их общий конец – точка C, значит, углы при A и B не равны. Определим их через соотношение:
AC (против угла B) = 10 см, значит, 10 / sin30 = 10 / (1/2) = 20.
Таким образом, каждая сторона равна 20·sin(соответствующий угол). Из равенства BC = 10 см (против угла A) получаем:
10 = 20·sin∠A ⟹ sin∠A = 1/2 ⟹ ∠A = 30°.
Так как сумма углов в треугольнике 180°, угол C = 180° – 30° – 30° = 120°.
Определим длину стороны AB, используя закон синусов:
AB = 20·sin∠C = 20·sin120° = 20·(√3/2) = 10√3 см.
Теперь можно перейти к поиску расстояния от B до прямой AC. Для наглядности введём координаты:
пусть A = (0, 0) и C = (10, 0) – таким образом, отрезок AC лежит на оси x;
выберем точку B так, чтобы AB = 10√3 и угол ∠A = 30°. Тогда координаты B будут:
B = (10√3·cos30°, 10√3·sin30°).
Напомним, что cos30° = √3/2, sin30° = 1/2. Вычислим:
x_B = 10√3 · (√3/2) = 10·3/2 = 15,
y_B = 10√3 · (1/2) = 5√3 (≈ 8.66 см).
Таким образом, B = (15, 5√3). Поскольку прямая AC – это ось x, расстояние от точки B до этой прямой равно модулю y-координаты B, то есть равно 5√3 см.
Теперь вернёмся к необходимости найти расстояние от точки D до прямой AC. Точка D находится над точкой B на расстоянии BD = 5 см (в направлении перпендикулярном плоскости, то есть в оси z). Применяем теорему о расстоянии в пространстве:
d(D, AC) = √[(d(B, AC))² + (BD)²] = √[(5√3)² + 5²] = √(75 + 25) = √100 = 10 см.
Ответ: расстояние от точки D до прямой AC равно 10 см.
Бізге берілген тапсырмада А, В, С төбелі үшбұрыш берілген, оның ішінде AC = BC = 10 см, ал B бұрышы 30° деп көрсетілген. Сондай-ақ, үшбұрыш жазықтығына перпендикуляр бағыттағы BD (немесе ВD) түзуінен D нүктесі беріліп, оның ұзындығы 5 см, яғни нүкте D үшбұрыш жазықтығынан 5 см қашықтықтан орналасқан. Дәл осы нүктеден (D нүктесі) үшбұрыш жазықтығындағы AC түзуіне дейінгі қашықтықты табу керек.
Мұнда ең жеңіл конфигурация – D нүктесінің жазықтыққа тік түсірілген бейнесі дәл үшбұрыштың В төбесінде орналасады. Бұл жағдайда D нүктесі B нүктесінің дәл жоғарысында орналасқан болады және BD = 5 см. Дегеніміз, нүкте D-ден AC түзуіне дейінгі ең қысқа қашықтықты табу үшін алдымен B нүктесінің жазықтықтағы AC түзуіне дейінгі қашықтығын табамыз да, одан кейін үшөлшемді кеңістіктегі қашықтықты Пифагор ережесі бойынша есептейміз.
Біз координата жүйесінде үшбұрышты орналастыра аламыз. Мысалы,
A = (0,0),
C = (10,0) (негізінен AC = 10 см),
Ал B нүктесінің координаталарын табу үшін:
|AB| = 10√3, |BC| = 10, ∠B = 30°.
Шамалы есептеулерден B = (15, 5√3) екені шығады.
AC тік сызығы – x-ось бойымен жатқандықтан, B нүктесінің AC-ге дейінгі қашықтығы оның y координатасының модулі:
d(B, AC) = |5√3| = 5√3 см.
D нүктесі жазықтықтан тік қашықтықта 5 см орналасса, D-ден AC түзуіне дейінгі қашықтықты үшөлшемді кеңістіктегі қашықтық формуласы бойынша табамыз:
d(D, AC) = √[(d(B, AC))² + (BD)²]
= √[(5√3)² + 5²]
= √(75 + 25)
= √100 = 10 см.
Осылайша, D нүктесінен AC түзуіне дейінгі қашықтық 10 см.