Қатардың қосындысын табыңыз: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n}.
Қатардың қосындысын табыңыз: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n}.
Задача требует найти сумму бесконечного ряда
∑ₙ₌₁^(∞) (-1)ⁿ/2ⁿ.
Заметим, что данный ряд является геометрическим, где первый член равен
a = (-1)/2
и знаменатель прогрессии равен
r = (-1)/2.
Для геометрического ряда сумма бесконечного числа членов существует, если |r| < 1, что здесь выполняется, поскольку |(-1)/2| = 1/2 < 1. Сумму ряда можно найти по формуле:
S = a/(1 - r).
Подставляем значения:
S = [(-1)/2] / [1 - (-1/2)] = [(-1)/2] / [1 + 1/2] = [(-1)/2] / (3/2).
Деление на (3/2) эквивалентно умножению на (2/3):
S = (-1)/2 × 2/3 = -1/3.
Ответ: сумма ряда равна -1/3.
Сәлем! Бізге берілген қатар – бұл геометриялық қатар, яғни әрбір келесі мүше алдыңғысының белгілі бір тұрақты мөлшерге көбейтілген түрі:
• Алдымен, қатардың жалпы түрін еске түсірейік. Геометриялық қатардың алғашқы мүше (a) және көбейтіндісі (r) болса, оның шексіз қосындысы былай есептеледі:
[
S = \frac{a}{1 - r} \quad \text{(егер } |r| < 1 \text{)}
]
• Бізде (n = 1)-ден шексізге дейінгі қосынды берілген:
[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n}
]
Бұл қатарды (n = 1) индексінен қарастыратын болсақ, алғашқы мүше:
[
a = \frac{(-1)^1}{2^1} = -\frac{1}{2}
]
Және әрбір келесі мүше алдыңғысына (-\frac{1}{2}) көбейтіндісін алғандықтан, көбейтінді:
[
r = -\frac{1}{2}
]
• Геометриялық қатардағы формула тек (n=0) индексінен басталса, сондықтан (n=1)-ден басталатынын ескерсек, қосындыны былай жазамыз:
[
\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1 - r}
]
Мұнда (r = -\frac{1}{2}) қойып, есептейміз:
[
S = \frac{-\frac{1}{2}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{-\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}
]
• Енді бөлуді орындаймыз:
[
\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}
]
Қорытындылай келе, қосындылары шексіз болған осы геометриялық қатардың қосындысы (-\frac{1}{3}) болып табылады. Егер тағы сұрақтарың болса, сұраудан тартынба!