Арифметикалық прогрессияның 15-ші мүшесі 120, ал алғашқы 20 мүшесінің қосындысы 2500 болса, айырмасын табыңыз.
Арифметикалық прогрессияның 15-ші мүшесі 120, ал алғашқы 20 мүшесінің қосындысы 2500 болса, айырмасын табыңыз.
Сізге арифметикалық прогрессияның 15-ші мүшесінің 120 екені, ал алғашқы 20 мүшесінің қосындысы 2500 екені берілген. Ендігі мақсат – прогрессияның айырмасын, яғни үзілісін (d) табу.
Алдымен, арифметикалық прогрессияда n-ші мүше былай белгіленеді:
aₙ = a + (n - 1)·d,
мұнда a – бірінші мүше.
• 15-ші мүше табылса:
a + 14d = 120 (1)
Алғашқы n мүшелерінің қосындысы былай табылады:
Sₙ = n/2 · (2a + (n - 1)·d).
Бізде n = 20 болғандықтан:
S₂₀ = 20/2 · (2a + 19d) = 10(2a + 19d) = 2500
одан:
2a + 19d = 250 (2)
• Енді (1) теңдеуден a-ны табамыз:
a = 120 - 14d
• Бұл нәтижені (2) теңдеуге қоямыз:
2(120 - 14d) + 19d = 250
240 - 28d + 19d = 250
240 - 9d = 250
• Теңдеуді шешеміз:
-9d = 250 - 240
-9d = 10
d = -10/9
Осылайша, арифметикалық прогрессияның үзілісі (айырмасы) -10/9 болып табылады.
Айта кетейік, үзілістің теріс болуы прогрессияның кемимді екенін білдіреді. Барлық есептеулер нақты әрі логикалық ретпен жүргізіліп, жауап толық анықталды.
В условии задачи даны два условия арифметической прогрессии:
• 15-й член равен 120
• Сумма первых 20 членов равна 2500
Обозначим первый член за a, а разность (разницу) прогрессии – за d.
Из формулы для n-го члена арифметической прогрессии
aₙ = a + (n – 1)d
при n = 15 получаем:
a + 14d = 120 (1)
Формула для суммы первых n членов имеет вид
Sₙ = n/2 * (2a + (n – 1)d)
при n = 20 получаем:
20/2 * (2a + 19d) = 2500
10 * (2a + 19d) = 2500
2a + 19d = 250 (2)
Чтобы найти d, выразим a из (1):
a = 120 – 14d
Подставляем это значение a в уравнение (2):
2(120 – 14d) + 19d = 250
240 – 28d + 19d = 250
240 – 9d = 250
–9d = 250 – 240 = 10
d = –10/9
Таким образом, разность арифметической прогрессии равна –10/9.
Ответ: –10/9.